Geometría en el cubo: planos y rectas

**Calculad el plano que pasa por los puntos $A, E, C$ y $G$ (7 puntos) y la recta perpendicular al plano anterior que pasa por el punto $D$. (3 puntos)** Primero, debemos situar los vértices en el sistema de coordenadas. Sabemos que: - $C = (1, 1, 1)$. - La longitud de la arista es $L = 2$. - Las aristas son paralelas a los ejes: $AE \parallel X$, $AD \parallel Y$, $AB \parallel Z$. A partir de $C(1, 1, 1)$, podemos obtener el resto de puntos sabiendo que están a distancia 2 siguiendo las direcciones de los ejes: - El punto **$D$** está en la misma cara que $C$, variando la coordenada $Z$ (ya que $AB \parallel Z$, el lado opuesto $DC$ también): $D = (1, 1, 1-2) = (1, 1, -1)$. - El punto **$B$** está en la misma cara que $C$, variando la coordenada $Y$ (ya que $AD \parallel Y$): $B = (1, 1-2, 1) = (1, -1, 1)$. - El punto **$A$** completa la cara $ABCD$: $A = (1, 1-2, 1-2) = (1, -1, -1)$. - El punto **$E$** se obtiene desde $A$ variando la coordenada $X$ (ya que $AE \parallel X$): $E = (1+2, -1, -1) = (3, -1, -1)$. - El punto **$G$** se obtiene desde $C$ variando la coordenada $X$: $G = (1+2, 1, 1) = (3, 1, 1)$. Resumen de puntos necesarios: $A(1, -1, -1)$, $E(3, -1, -1)$, $C(1, 1, 1)$, $G(3, 1, 1)$ y $D(1, 1, -1)$. 💡 **Tip:** Imagina el punto $C$ como una esquina superior. Al ser las aristas paralelas a los ejes, simplemente sumamos o restamos la longitud de la arista (2) a las coordenadas correspondientes.

Para visualizar la disposición de los puntos y el plano solicitado (que corta el cubo diagonalmente), presentamos el siguiente esquema:

Para encontrar la ecuación del plano $\pi$ que pasa por $A, E, C, G$, necesitamos un punto (usaremos $A(1, -1, -1)$) y dos vectores directores no colineales contenidos en el plano: $$\vec{u} = \vec{AE} = E - A = (3-1, -1-(-1), -1-(-1)) = (2, 0, 0)$$ $$\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (1-1, 1-(-1), 1-(-1)) = (0, 2, 2)$$ El vector normal $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{n} = \mathbf{i}(0\cdot 2 - 0\cdot 2) - \mathbf{j}(2\cdot 2 - 0\cdot 0) + \mathbf{k}(2\cdot 2 - 0\cdot 0)$$ $$\vec{n} = 0\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k} = (0, -4, 4)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por 4 para trabajar con números más sencillos: **$\vec{n_{\pi}} = (0, -1, 1)$**. 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al vector normal también es normal al plano.

La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando el vector normal $(0, -1, 1)$: $$0x - 1y + 1z + D = 0 \implies -y + z + D = 0$$ Sustituimos el punto $A(1, -1, -1)$ para hallar $D$: $$-(-1) + (-1) + D = 0 \implies 1 - 1 + D = 0 \implies D = 0$$ Por tanto, la ecuación del plano es: $$\boxed{y - z = 0}$$ (Nota: También se puede expresar como $-y + z = 0$).

La recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$, lo que significa que su vector director $\vec{d_r}$ es igual al vector normal del plano: $$\vec{d_r} = \vec{n_{\pi}} = (0, 1, -1)$$ La recta pasa por el punto $D(1, 1, -1)$. Podemos escribir su ecuación en forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + \lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$$ O en forma continua: $$\frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+1}{-1}$$ ✅ **Resultado final:** El plano es **$\boxed{y - z = 0}$** y la recta es **$\boxed{r: (x, y, z) = (1, 1, -1) + \lambda(0, 1, -1)}$**