Optimización: Longitud mínima de un cable entre torres

**¿Dónde hemos de situar la torreta de 5 metros para que la longitud total del cable sea mínima? (7 puntos)** Primero, definimos un sistema de coordenadas para representar el problema: - La primera torre está en el punto $A(0, 15)$. - La segunda torre está en el punto $C(30, 25)$. - La torreta de 5 metros se sitúa en un punto intermedio $B(x, 5)$, donde $x$ es la distancia desde la primera torre ($0 \le x \le 30$). La longitud total del cable $L(x)$ es la suma de las distancias entre los extremos superiores: 1. Distancia de la torre 1 a la torreta: $d_1 = \sqrt{(x-0)^2 + (5-15)^2} = \sqrt{x^2 + (-10)^2} = \sqrt{x^2 + 100}$. 2. Distancia de la torreta a la torre 2: $d_2 = \sqrt{(30-x)^2 + (25-5)^2} = \sqrt{(30-x)^2 + 20^2} = \sqrt{(30-x)^2 + 400}$. La función a minimizar es: $$L(x) = \sqrt{x^2 + 100} + \sqrt{(30-x)^2 + 400}$$ 💡 **Tip:** El teorema de Pitágoras es fundamental aquí. Estamos sumando las hipotenusas de dos triángulos rectángulos de bases $x$ y $(30-x)$ y alturas $|15-5|=10$ y $|25-5|=20$ respectivamente.

Para hallar el mínimo, derivamos $L(x)$ respecto a $x$: $$L'(x) = \frac{d}{dx}\left( \sqrt{x^2 + 100} \right) + \frac{d}{dx}\left( \sqrt{(30-x)^2 + 400} \right)$$ Aplicando la regla de la cadena: $$L'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 100}} + \frac{2(30-x) \cdot (-1)}{2\sqrt{(30-x)^2 + 400}}$$ $$L'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 100}} - \frac{30-x}{\sqrt{(30-x)^2 + 400}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\sqrt{u}$ es $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$. No olvides el signo negativo al derivar $(30-x)$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 100}} - \frac{30-x}{\sqrt{(30-x)^2 + 400}} = 0 \implies \frac{x}{\sqrt{x^2 + 100}} = \frac{30-x}{\sqrt{(30-x)^2 + 400}}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar las raíces: $$\frac{x^2}{x^2 + 100} = \frac{(30-x)^2}{(30-x)^2 + 400}$$ $$x^2[(30-x)^2 + 400] = (30-x)^2(x^2 + 100)$$ $$x^2(30-x)^2 + 400x^2 = x^2(30-x)^2 + 100(30-x)^2$$ $$400x^2 = 100(30-x)^2$$ $$4x^2 = (30-x)^2$$ Tomamos la raíz cuadrada en ambos lados (considerando $x$ positivo dentro del intervalo): $$2x = 30 - x \implies 3x = 30 \implies x = 10$$ 💡 **Tip:** Al resolver $4x^2 = (30-x)^2$, también tendríamos $2x = -(30-x)$, pero esto daría $x = -30$, que está fuera del dominio físico del problema ($0 \le x \le 30$).

Analizamos el signo de $L'(x)$ alrededor de $x = 10$ para confirmar que es un mínimo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 10) & 10 & (10, 30) \\ \hline L'(x) & - & 0 & + \\ \hline L(x) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ - Si $x=5$: $L'(5) = \frac{5}{\sqrt{125}} - \frac{25}{\sqrt{625+400}} \approx 0.447 - 0.781 \lt 0$. - Si $x=20$: $L'(20) = \frac{20}{\sqrt{500}} - \frac{10}{\sqrt{100+400}} \approx 0.894 - 0.447 \gt 0$. La torreta debe situarse a **10 metros** de la torre de 15 metros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 10 \text{ metros}}$$

**¿Qué vale la longitud del cable en este caso? (3 puntos)** Sustituimos el valor $x = 10$ en la función original $L(x)$: $$L(10) = \sqrt{10^2 + 100} + \sqrt{(30-10)^2 + 400}$$ $$L(10) = \sqrt{100 + 100} + \sqrt{20^2 + 400}$$ $$L(10) = \sqrt{200} + \sqrt{400 + 400}$$ $$L(10) = \sqrt{2 \cdot 100} + \sqrt{2 \cdot 400}$$ $$L(10) = 10\sqrt{2} + 20\sqrt{2}$$ $$L(10) = 30\sqrt{2}$$ Calculando el valor aproximado: $$L(10) \approx 30 \cdot 1.4142 = 42.426 \text{ metros}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{L = 30\sqrt{2} \approx 42.43 \text{ metros}}$$