Problema de edades y sistemas de ecuaciones

**Calculad las edades de Joan, de Miquel y de Gabriel (7 puntos) y en qué año nació cada uno. (3 puntos)** En primer lugar, definimos las incógnitas basándonos en las edades actuales de las tres personas: - $x$: Edad de Joan - $y$: Edad de Miquel - $z$: Edad de Gabriel Traducimos el enunciado a ecuaciones algebraicas: 1. Las edades suman 70: $x + y + z = 70$ 2. Joan + 2·Miquel + 3·Gabriel suman 160: $x + 2y + 3z = 160$ 3. Gabriel es la suma de Joan y Miquel: $z = x + y$ Ordenando la tercera ecuación, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + y + z = 70 \\ x + 2y + 3z = 160 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Identificar claramente qué representa cada variable es el paso más importante en los problemas de lenguaje algebraico.

Podemos resolver el sistema por varios métodos, pero aprovechando que la tercera ecuación nos da una relación directa ($x + y = z$), el método de sustitución es muy eficiente. Sustituimos $x + y$ por $z$ en la primera ecuación ($x + y + z = 70$): $$z + z = 70 \implies 2z = 70$$ $$z = \frac{70}{2} = 35$$ Ahora que conocemos $z = 35$, sustituimos este valor en las dos primeras ecuaciones originales: 1. $x + y + 35 = 70 \implies x + y = 35$ 2. $x + 2y + 3(35) = 160 \implies x + 2y + 105 = 160 \implies x + 2y = 55$ 💡 **Tip:** Al sustituir una relación de suma de variables, reducimos el sistema de 3 incógnitas a uno de 2 de forma casi inmediata. $$\boxed{z = 35}$$

Ahora resolvemos el sistema de dos ecuaciones resultante: $$\begin{cases} x + y = 35 \quad (I) \\ x + 2y = 55 \quad (II) \end{cases}$$ Restamos la ecuación $(I)$ a la ecuación $(II)$ para eliminar la $x$: $$(x + 2y) - (x + y) = 55 - 35$$ $$y = 20$$ Sustituimos $y = 20$ en la ecuación $(I)$: $$x + 20 = 35 \implies x = 35 - 20 = 15$$ Las edades actuales son: - Joan: **15 años** - Miquel: **20 años** - Gabriel: **35 años** ✅ **Resultado (Edades):** $$\boxed{\text{Joan: 15, Miquel: 20, Gabriel: 35}}$$

Para calcular el año de nacimiento, restamos la edad actual al año en que se realizó el examen (2017). - **Joan:** $2017 - 15 = 2002$ - **Miquel:** $2017 - 20 = 1997$ - **Gabriel:** $2017 - 35 = 1982$ 💡 **Tip:** En este tipo de problemas de selectividad, si no se indica lo contrario, se toma el año de la convocatoria del examen como referencia para los cálculos temporales. ✅ **Resultado (Años de nacimiento):** $$\boxed{\text{Joan: 2002, Miquel: 1997, Gabriel: 1982}}$$