Distribución Normal: Test de Inteligencia (CI)

Lo primero es definir la variable aleatoria que estamos estudiando y sus parámetros. Sea $X$ la variable que representa el nivel de inteligencia (CI) de la población. El enunciado nos indica que esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(100, 10)$$ Donde la media es $\mu = 100$ y la desviación típica es $\sigma = 10$. Para poder realizar cálculos utilizando las tablas de la normal estándar, utilizaremos el proceso de **tipificación**: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 100}{10}$$ Donde $Z \sim N(0, 1)$. 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite transformar cualquier distribución normal en una normal estándar de media 0 y desviación típica 1 para poder usar las tablas de probabilidad.

**a) Calculad el porcentaje de la población que se considera superdotada. Una persona se considera superdotada si tiene un nivel de inteligencia superior a 130. (3 puntos)** Buscamos la probabilidad de que un individuo tenga un CI mayor que 130, es decir, $P(X \gt 130)$. 1. **Tipificamos** la variable: $$P(X \gt 130) = P\left(Z \gt \frac{130 - 100}{10}\right) = P(Z \gt 3)$$ 2. Como las tablas suelen dar la probabilidad acumulada hacia la izquierda, usamos la propiedad del suceso complementario: $$P(Z \gt 3) = 1 - P(Z \le 3)$$ 3. Buscamos el valor de $z = 3$ en la tabla de la $N(0, 1)$: $$P(Z \le 3) = 0.9987$$ 4. Calculamos la probabilidad final: $$1 - 0.9987 = 0.0013$$ Para dar el resultado en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.0013 \cdot 100 = 0.13\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.13\% \text{ de la población es superdotada}}$$

**b) Calculad el porcentaje de la población con un nivel de inteligencia entre 90 y 110. (3 puntos)** Debemos calcular la probabilidad $P(90 \lt X \lt 110)$. 1. **Tipificamos** ambos valores del intervalo: $$P(90 \lt X \lt 110) = P\left(\frac{90 - 100}{10} \lt Z \lt \frac{110 - 100}{10}\right) = P(-1 \lt Z \lt 1)$$ 2. Aplicamos la fórmula para la probabilidad de un intervalo: $$P(-1 \lt Z \lt 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le -1)$$ 3. Por simetría de la normal, $P(Z \le -1) = 1 - P(Z \le 1)$. Sustituyendo: $$P(Z \le 1) - (1 - P(Z \le 1)) = 2 \cdot P(Z \le 1) - 1$$ 4. Buscamos $z = 1$ en la tabla: $$P(Z \le 1) = 0.8413$$ 5. Realizamos la operación: $$2 \cdot 0.8413 - 1 = 1.6826 - 1 = 0.6826$$ Expresado en porcentaje es $68.26\%$. 💡 **Tip:** En una distribución normal, el intervalo $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$ siempre contiene aproximadamente el $68.27\%$ de la población. ✅ **Resultado:** $$\boxed{68.26\% \text{ de la población tiene un CI entre 90 y 110}}$$

**c) Nos dicen que el 70% de la población tiene un nivel de inteligencia menor que un cierto umbral. Calculad este umbral. (4 puntos)** Se nos pide hallar un valor $k$ tal que $P(X \lt k) = 0.70$. 1. **Tipificamos** la expresión: $$P\left(Z \lt \frac{k - 100}{10}\right) = 0.70$$ 2. Llamamos $z_0$ al valor tipificado: $z_0 = \frac{k - 100}{10}$. Buscamos en el **interior de la tabla de la normal** el valor de probabilidad más cercano a $0.70$. - Para $z = 0.52 \rightarrow P(Z \le 0.52) = 0.6985$ - Para $z = 0.53 \rightarrow P(Z \le 0.53) = 0.7019$ Tomamos el valor más próximo o realizamos una interpolación lineal sencilla. El valor estándar aproximado es $z_0 \approx 0.524$. 3. Deshacemos el cambio de variable para hallar $k$: $$0.524 = \frac{k - 100}{10}$$ $$k - 100 = 0.524 \cdot 10$$ $$k = 100 + 5.24 = 105.24$$ 💡 **Tip:** Cuando buscas en la tabla a la inversa, estás hallando el percentil. En este caso, el percentil 70 de la población tiene un CI de aproximadamente $105.24$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El umbral es } 105.24}$$