Intersección de rectas con parámetro

**a) Calculad el valor de $\lambda$ para que $r$ y $s$ se corten. (7 puntos)** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta: Para la recta $r$ (en paramétricas): - Punto $P_r = (1, -1, 3)$ - Vector director $\vec{v}_r = (\lambda, 1, -2)$ Para la recta $s$ (en continua): - Punto $P_s = (2, 0, 3)$ - Vector director $\vec{v}_s = (\lambda, 2\lambda, -1)$ Calculamos también el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_r P_s} = (2-1, 0-(-1), 3-3) = (1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** Para que dos rectas se corten en un punto, deben ser coplanarias (estar en el mismo plano) y no ser paralelas.

Para que las rectas $r$ y $s$ sean coplanarias, el determinante formado por los vectores $\vec{P_r P_s}$, $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ debe ser igual a cero: $$\det(\vec{P_r P_s}, \vec{v}_r, \vec{v}_s) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ \lambda & 1 & -2 \\ \lambda & 2\lambda & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus o desarrollando por la primera fila: $$\det = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2\lambda & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} \lambda & -2 \\ \lambda & -1 \end{vmatrix} + 0$$ $$\det = [1(-1) - (-2)(2\lambda)] - [\lambda(-1) - (-2)\lambda]$$ $$\det = (-1 + 4\lambda) - (-\lambda + 2\lambda) = -1 + 4\lambda - \lambda = 3\lambda - 1$$ Igualamos a cero para que se corten o sean paralelas: $$3\lambda - 1 = 0 \implies \lambda = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, los vectores son linealmente dependientes, lo que significa que las rectas están en el mismo plano. Si el determinante fuera distinto de cero, las rectas se cruzarían.

Debemos comprobar que para $\lambda = \frac{1}{3}$ las rectas no son paralelas (es decir, que sus vectores directores no son proporcionales). Para $\lambda = \frac{1}{3}$: $$\vec{v}_r = \left(\frac{1}{3}, 1, -2\right)$$ $$\vec{v}_s = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -1\right)$$ Comprobamos la proporcionalidad: $$\frac{1/3}{1/3} = 1, \quad \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$$ Como $1 \neq \frac{3}{2}$, los vectores no son proporcionales, por lo tanto las rectas no son paralelas y se cortan en un único punto. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\lambda = \frac{1}{3}}$$

**b) Calculad el punto de intersección para el valor de $\lambda$ calculado. (3 puntos)** Sustituimos $\lambda = \frac{1}{3}$ en las ecuaciones de las rectas. Recta $r$: $$\begin{cases} x = 1 + \frac{1}{3}t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - 2t \end{cases}$$ Recta $s$ (pasamos a paramétricas usando un parámetro $u$): $$\frac{x - 2}{1/3} = \frac{y}{2/3} = \frac{z - 3}{-1} = u \implies \begin{cases} x = 2 + \frac{1}{3}u \\ y = \frac{2}{3}u \\ z = 3 - u \end{cases}$$ Igualamos las coordenadas para encontrar el punto común: 1) $1 + \frac{1}{3}t = 2 + \frac{1}{3}u$ 2) $-1 + t = \frac{2}{3}u$ 3) $3 - 2t = 3 - u \implies u = 2t$ Sustituimos $u = 2t$ en la segunda ecuación: $$-1 + t = \frac{2}{3}(2t) \implies -1 + t = \frac{4}{3}t$$ $$-1 = \frac{4}{3}t - t \implies -1 = \frac{1}{3}t \implies t = -3$$ Si $t = -3$, entonces $u = 2(-3) = -6$. 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los valores obtenidos en todas las ecuaciones para asegurar que el sistema es compatible.

Sustituimos $t = -3$ en las ecuaciones de la recta $r$: $$x = 1 + \frac{1}{3}(-3) = 1 - 1 = 0$$ $$y = -1 + (-3) = -4$$ $$z = 3 - 2(-3) = 3 + 6 = 9$$ Comprobamos con $u = -6$ en la recta $s$: $$x = 2 + \frac{1}{3}(-6) = 2 - 2 = 0$$ $$y = \frac{2}{3}(-6) = -4$$ $$z = 3 - (-6) = 9$$ Ambas rectas coinciden en el punto $(0, -4, 9)$. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{P(0, -4, 9)}$$