Optimización del área de una ventana

Para resolver el problema, primero definimos las variables que determinan las dimensiones de la ventana: - Sea $x$ la base del rectángulo (en metros). Como el triángulo superior es equilátero y está apoyado sobre esta base, sus tres lados también miden $x$. - Sea $y$ la altura del rectángulo (en metros). El enunciado nos dice que el perímetro del polígono exterior $ACEDB$ es de 30 metros. Los lados que forman este contorno son: - La base inferior ($CD$): $x$ - Los dos laterales del rectángulo ($AC$ y $DB$): $2y$ - Los dos lados superiores del triángulo equilátero ($AE$ y $EB$): $2x$ Por tanto, la ecuación del perímetro es: $$P = x + 2y + 2x = 3x + 2y = 30$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso es identificar la restricción (perímetro) y la función a maximizar (área).

Despejamos la variable $y$ en función de $x$ a partir de la restricción del perímetro: $$3x + 2y = 30 \implies 2y = 30 - 3x \implies y = 15 - \frac{3}{2}x$$ Para que las dimensiones tengan sentido físico, se debe cumplir que $x \gt 0$ e $y \gt 0$: $$15 - \frac{3}{2}x \gt 0 \implies 15 \gt \frac{3}{2}x \implies 30 \gt 3x \implies x \lt 10$$ Por tanto, el dominio de nuestra función será $x \in (0, 10)$.

El área total de la ventana ($A$) es la suma del área del rectángulo ($A_R$) y el área del triángulo equilátero ($A_T$): 1. **Área del rectángulo:** $A_R = x \cdot y$ 2. **Área del triángulo equilátero:** La altura de un triángulo equilátero de lado $x$ es $h = \sqrt{x^2 - (x/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$. Por tanto, su área es: $$A_T = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$$ Sustituimos $y$ por la expresión hallada anteriormente: $$A(x) = x\left(15 - \frac{3}{2}x\right) + \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$$ $$A(x) = 15x - \frac{3}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 = 15x + \left(\frac{\sqrt{3} - 6}{4}\right)x^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área de un triángulo equilátero de lado $l$ siempre es $\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$.

Para hallar el máximo, derivamos la función $A(x)$ con respecto a $x$: $$A'(x) = 15 + 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3} - 6}{4}\right)x = 15 + \left(\frac{\sqrt{3} - 6}{2}\right)x$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$15 + \left(\frac{\sqrt{3} - 6}{2}\right)x = 0$$ $$15 = -\left(\frac{\sqrt{3} - 6}{2}\right)x \implies 15 = \left(\frac{6 - \sqrt{3}}{2}\right)x$$ $$x = \frac{30}{6 - \sqrt{3}}$$ Calculamos el valor aproximado para facilitar la comprensión: $$x \approx \frac{30}{6 - 1.732} \approx \frac{30}{4.268} \approx 7.03 \text{ m}$$ $$\boxed{x = \frac{30}{6 - \sqrt{3}}}$$

Utilizamos el criterio de la segunda derivada para confirmar que se trata de un máximo relativo: $$A''(x) = \frac{\sqrt{3} - 6}{2}$$ Como $\sqrt{3} \approx 1.732$, entonces $\sqrt{3} - 6 \lt 0$, lo que implica que: $$A''(x) \lt 0$$ Al ser la segunda derivada negativa en todo el dominio, el punto crítico hallado es un **máximo absoluto** de la función área. 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es negativa ($f''(a) < 0$), la función es cóncava hacia abajo y el punto es un máximo.

Ahora calculamos el valor de la altura $y$ sustituyendo el valor de $x$: $$y = 15 - \frac{3}{2}\left(\frac{30}{6 - \sqrt{3}}\right) = 15 - \frac{45}{6 - \sqrt{3}}$$ Para simplificar, ponemos común denominador: $$y = \frac{15(6 - \sqrt{3}) - 45}{6 - \sqrt{3}} = \frac{90 - 15\sqrt{3} - 45}{6 - \sqrt{3}} = \frac{45 - 15\sqrt{3}}{6 - \sqrt{3}}$$ Podemos sacar factor común 15: $$y = \frac{15(3 - \sqrt{3})}{6 - \sqrt{3}} \approx \frac{15(3 - 1.732)}{4.268} \approx \frac{19.02}{4.268} \approx 4.46 \text{ m}$$ ✅ **Resultado (Dimensiones del rectángulo):** $$\boxed{\text{Base: } x = \frac{30}{6 - \sqrt{3}} \approx 7.03 \text{ m}, \quad \text{Altura: } y = \frac{45 - 15\sqrt{3}}{6 - \sqrt{3}} \approx 4.46 \text{ m}}$$