Probabilidad con dados: suma, producto e independencia

**a) Calculad las probabilidades de que ocurran los eventos anteriores. (6 puntos)** Al lanzar dos dados de 6 caras, el espacio muestral $\Omega$ está formado por todos los pares posibles $(d_1, d_2)$. El número total de resultados posibles es: $$n = 6 \times 6 = 36$$ Como los dados no están trucados, todos los resultados son equiprobables, por lo que usaremos la **Regla de Laplace**: $$P(E) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}}$$ Podemos visualizar el espacio muestral en la siguiente tabla: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{D1 \ D2} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas de dos dados, siempre considera que hay $36$ combinaciones posibles. No es lo mismo $(1,2)$ que $(2,1)$.

El evento $S_7$ ocurre cuando la suma de las caras es $7$. Buscamos las parejas $(x, y)$ tales que $x + y = 7$: $$S_7 = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$$ Contamos el número de casos favorables: $$n(S_7) = 6$$ Aplicando la Regla de Laplace: $$P(S_7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$ ✅ **Resultado (Probabilidad $S_7$):** $$\boxed{P(S_7) = \frac{1}{6} \approx 0.1667}$$

El evento $P$ ocurre cuando el producto de los resultados es impar. Para que el producto de dos números enteros sea **impar**, es estrictamente necesario que **ambos números sean impares** (impar $\times$ impar = impar). Si uno de ellos fuera par, el producto sería par. Los números impares en un dado de 6 caras son $\{1, 3, 5\}$. Las combinaciones favorables son: $$P = \{(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)\}$$ Contamos el número de casos favorables: $$n(P) = 3 \times 3 = 9$$ Aplicando la Regla de Laplace: $$P(P) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado (Probabilidad $P$):** $$\boxed{P(P) = \frac{1}{4} = 0.25}$$

**b) ¿Son independientes $S_7$ y $P$? Razonad la respuesta. (4 puntos)** Dos eventos son independientes si y solo si se cumple la condición: $$P(S_7 \cap P) = P(S_7) \cdot P(P)$$ Primero, identifiquemos el evento intersección $S_7 \cap P$. Esto significa que la suma sea $7$ **y** el producto sea impar. Revisamos los elementos de $S_7$: - $(1,6) \to \text{producto } 6 \text{ (par)}$ - $(2,5) \to \text{producto } 10 \text{ (par)}$ - $(3,4) \to \text{producto } 12 \text{ (par)}$ - $(4,3) \to \text{producto } 12 \text{ (par)}$ - $(5,2) \to \text{producto } 10 \text{ (par)}$ - $(6,1) \to \text{producto } 6 \text{ (par)}$ Como vemos, en todos los casos de $S_7$, uno de los números es par y el otro es impar. Al haber un número par, el producto siempre es par. Por tanto: $$S_7 \cap P = \emptyset \implies P(S_7 \cap P) = 0$$ Ahora calculamos el producto de sus probabilidades: $$P(S_7) \cdot P(P) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24}$$ Dado que $0 \neq \frac{1}{24}$, se concluye que: $$P(S_7 \cap P) \neq P(S_7) \cdot P(P)$$ 💡 **Tip:** Si la intersección es vacía ($P(A\cap B)=0$) y las probabilidades individuales no son nulas, los eventos nunca pueden ser independientes. Se llaman eventos **incompatibles** o disjuntos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los eventos } S_7 \text{ y } P \text{ no son independientes. Son dependientes.}}$$