Posición relativa y distancia entre dos rectas

**a) demostrad que se cruzan. (4 puntos)** Primero, extraemos un punto y el vector director de cada una de las rectas a partir de sus ecuaciones en forma continua. Para la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{-1}$: - Punto $P_r = (1, 0, -1)$ - Vector director $\vec{v_r} = (2, 3, -1)$ Para la recta $s: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+1}{-2}$: - Punto $P_s = (0, 2, -1)$ - Vector director $\vec{v_s} = (1, 2, -2)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{u_x} = \frac{y-y_0}{u_y} = \frac{z-z_0}{u_z}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_x, u_y, u_z)$.

Para demostrar que las rectas se cruzan, debemos comprobar que sus vectores directores no son paralelos y que el determinante formado por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta es distinto de cero. 1. **Comprobar si son paralelas:** Los vectores $\vec{v_r} = (2, 3, -1)$ y $\vec{v_s} = (1, 2, -2)$ no son proporcionales: $$\frac{2}{1} \neq \frac{3}{2} \neq \frac{-1}{-2}$$ Por tanto, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. 2. **Calcular el vector que une los puntos:** $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (0 - 1, 2 - 0, -1 - (-1)) = (-1, 2, 0)$$ 3. **Calcular el determinante (producto mixto):** $$|\text{det}(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s})| = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\text{det} = (2 \cdot 2 \cdot 0) + (3 \cdot (-2) \cdot (-1)) + ((-1) \cdot 1 \cdot 2) - [((-1) \cdot 2 \cdot (-1)) + (2 \cdot (-2) \cdot 2) + (3 \cdot 1 \cdot 0)]$$ $$\text{det} = (0 + 6 - 2) - (2 - 8 + 0) = 4 - (-6) = 10$$ Como el determinante es $10 \neq 0$, los tres vectores son linealmente independientes, lo que implica que las rectas están en planos diferentes y no se cortan. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas se cruzan}}$$

**b) calculad la distancia entre las rectas. (6 puntos)** La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula como la altura del paralelepípedo formado por los vectores $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y $\vec{P_r P_s}$. La fórmula es: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}|}$$ Donde: - El numerador es el valor absoluto del determinante calculado en el apartado anterior. - El denominador es el módulo del producto vectorial de los vectores directores. Ya sabemos que el numerador es: $$|[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}]| = |10| = 10$$ 💡 **Tip:** La distancia entre dos rectas que se cruzan es la longitud del segmento perpendicular común a ambas.

Calculamos el producto vectorial $\vec{v_r} \times \vec{v_s}$ mediante un determinante: $$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = \vec{i} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = \vec{i}(-6 - (-2)) - \vec{j}(-4 - (-1)) + \vec{k}(4 - 3)$$ $$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = -4\vec{i} + 3\vec{j} + 1\vec{k} = (-4, 3, 1)$$ Ahora calculamos su módulo: $$|\vec{v_r} \times \vec{v_s}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$$

Aplicamos los valores obtenidos en la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{10}{\sqrt{26}}$$ Racionalizando la expresión: $$d(r, s) = \frac{10\sqrt{26}}{26} = \frac{5\sqrt{26}}{13} \approx 1.96 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(r, s) = \frac{5\sqrt{26}}{13} \text{ u}}$$