Estudio de la lluvia (Función polinómica)

**a) Determinad el día de la semana que llovió más y el que llovió menos. ¿Cuántos litros por metro cuadrado llovió estos dos días? (6 puntos)** Para encontrar los máximos y mínimos de la cantidad de lluvia $Q(t)$ en el intervalo cerrado $[1, 8]$, primero calculamos la derivada de la función con respecto al tiempo $t$ e igualamos a cero. La función es: $$Q(t) = -\frac{1}{8}t^3 + \frac{3}{2}t^2 - \frac{9}{2}t + 10$$ Derivamos término a término: $$Q'(t) = -\frac{3}{8}t^2 + \frac{3 \cdot 2}{2}t - \frac{9}{2} = -\frac{3}{8}t^2 + 3t - \frac{9}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $t^n$ es $n \cdot t^{n-1}$. Para encontrar los puntos críticos donde la función puede tener un máximo o mínimo, buscamos los valores de $t$ tales que $Q'(t) = 0$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $t$: $$-\frac{3}{8}t^2 + 3t - \frac{9}{2} = 0$$ Para facilitar el cálculo, multiplicamos toda la ecuación por $-8$: $$3t^2 - 24t + 36 = 0$$ Dividimos ahora entre $3$: $$t^2 - 8t + 12 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general: $$t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(12)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $t_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6$ - $t_2 = \frac{8 - 4}{2} = 2$ Ambos valores, **$t=2$ y $t=6$**, pertenecen al intervalo de estudio $[1, 8]$.

Analizamos el signo de la primera derivada en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $[1, 8]$ para determinar dónde la función crece y decrece. $$\begin{array}{c|ccccc} t & (1, 2) & 2 & (2, 6) & 6 & (6, 8) \\ \hline Q'(t) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline \text{Monotonía} & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ - En $(1, 2)$, $Q'(t) \lt 0$ (la lluvia decrece). - En $(2, 6)$, $Q'(t) \gt 0$ (la lluvia crece). - En $(6, 8)$, $Q'(t) \lt 0$ (la lluvia decrece). 💡 **Tip:** Para saber el signo, basta con sustituir un valor de cada intervalo en $Q'(t)$. Por ejemplo, $Q'(3) = -3/8(9) + 3(3) - 4.5 = -3.375 + 9 - 4.5 = 1.125 > 0$.

Para hallar los máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado, debemos comparar el valor de la función en los extremos del intervalo ($t=1, t=8$) y en los puntos críticos ($t=2, t=6$): 1. **Para $t=1$ (Lunes):** $$Q(1) = -\frac{1}{8} + \frac{3}{2} - \frac{9}{2} + 10 = -0.125 + 1.5 - 4.5 + 10 = 6.875$$ 2. **Para $t=2$ (Martes):** $$Q(2) = -\frac{8}{8} + \frac{3(4)}{2} - \frac{9(2)}{2} + 10 = -1 + 6 - 9 + 10 = 6$$ 3. **Para $t=6$ (Sábado):** $$Q(6) = -\frac{216}{8} + \frac{3(36)}{2} - \frac{9(6)}{2} + 10 = -27 + 54 - 27 + 10 = 10$$ 4. **Para $t=8$ (Lunes siguiente):** $$Q(8) = -\frac{512}{8} + \frac{3(64)}{2} - \frac{9(8)}{2} + 10 = -64 + 96 - 36 + 10 = 6$$ Comparando los valores: - El valor máximo es **10**. - El valor mínimo es **6**.

Relacionamos los valores de $t$ con los días de la semana, sabiendo que $t=1$ es lunes: - $t=2$ es **Martes**. - $t=6$ es **Sábado**. - $t=8$ es **Lunes** (de la otra semana). ✅ **Resultado (Apartado a):** - **Llovió más el Sábado** ($t=6$), con un total de **10 litros** por metro cuadrado. - **Llovió menos el Martes y el Lunes siguiente** ($t=2$ y $t=8$), con un total de **6 litros** por metro cuadrado en ambos días.

**b) Haced un pequeño dibujo de la función anterior durante los 8 días. (4 puntos)** Para realizar el dibujo, utilizamos los puntos calculados anteriormente: - Inicio: $(1, 6.875)$ - Mínimo relativo/absoluto: $(2, 6)$ - Máximo relativo/absoluto: $(6, 10)$ - Final: $(8, 6)$ La curva es una función polinómica de tercer grado que decrece inicialmente hasta el martes, luego sube hasta el sábado y vuelve a bajar hasta el lunes siguiente.