Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) Discutid para qué valores de $m$ el sistema siguiente es compatible:** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} m & 0 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} m & 0 & 3 & m \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según los valores del parámetro $m$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, estudiando el rango de estas matrices a partir de su determinante. 💡 **Tip:** Recuerda que el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 0 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [m \cdot 2 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 1] - [3 \cdot 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \cdot (-1) + m \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$|A| = [-2m + 0 + 3] - [12 + 0 - m]$$ $$|A| = -2m + 3 - 12 + m = -m - 9$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-m - 9 = 0 \implies m = -9$$

Analizamos el caso general donde el determinante es distinto de cero. Si **$m \neq -9$**: - El determinante $|A| \neq 0$, por lo que el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. - Como la matriz ampliada $A^*$ tiene dimensiones $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. Al contener a $A$, tenemos que $\text{rg}(A^*) = 3$. - El número de incógnitas es $n = 3$. Según el Teorema de Rouché-Capelli, al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m \neq -9, \text{ el sistema es Compatible Determinado}}$$

Si **$m = -9$**, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Veamos el rango de $A$ y $A^*$ sustituyendo el valor: $$A^* = \begin{pmatrix} -9 & 0 & 3 & -9 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ **Rango de $A$:** Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - (-1) = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ **Rango de $A^*$:** Observamos que la columna 1 ($C_1$) y la columna de términos independientes ($C_4$) son idénticas ($C_1 = C_4$): $$\begin{pmatrix} -9 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$ Esto implica que añadir la columna de términos independientes no aumenta el rango de la matriz. Por tanto, $\text{rg}(A^*) = \text{rg}(A) = 2$. Según el Teorema de Rouché-Capelli, como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones dependientes de $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\text{El sistema es compatible para cualquier valor de } m. \text{ (SCD si } m \neq -9, \text{ SCI si } m = -9)}$$

**b) Resolvedlo en el caso o los casos en que sea compatible indeterminado.** El sistema es compatible indeterminado cuando $m = -9$. El sistema resultante es: $$\begin{cases} -9x + 3z = -9 \\ x + 2y - z = 1 \\ 2x + y - z = 2 \end{cases}$$ Como el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación (la primera, por ejemplo, ya que es combinación lineal de las otras) y quedarnos con un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Usaremos las dos últimas: $$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y - z = 2 \end{cases}$$ Hacemos $z = \lambda$ (siendo $\lambda \in \mathbb{R}$) y pasamos el parámetro al término independiente: $$\begin{cases} x + 2y = 1 + \lambda \\ 2x + y = 2 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para resolver sistemas con infinitas soluciones, elige las variables que formaban el menor de orden 2 no nulo y trata la otra como un parámetro.

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones por reducción. Multiplicamos la primera por $-2$: $$\begin{cases} -2x - 4y = -2 - 2\lambda \\ 2x + y = 2 + \lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$(-2x + 2x) + (-4y + y) = (-2 + 2) + (-2\lambda + \lambda)$$ $$-3y = -\lambda \implies y = \frac{\lambda}{3}$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación para hallar $x$: $$2x + \frac{\lambda}{3} = 2 + \lambda \implies 2x = 2 + \lambda - \frac{\lambda}{3}$$ $$2x = 2 + \frac{2\lambda}{3} \implies x = 1 + \frac{\lambda}{3}$$ ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 + \frac{\lambda}{3} \\ y = \frac{\lambda}{3} \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$