Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Fumadores en centro de salud

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales y organizamos la información en un diagrama de árbol. Definimos los siguientes sucesos: - $F$: El paciente es fumador. - $\bar{F}$: El paciente no es fumador. - $H$: El paciente es hombre. - $M$: El paciente es mujer. Datos del enunciado: - $P(F) = 0.30 \implies P(\bar{F}) = 1 - 0.30 = 0.70$. - $P(H|F) = 0.60$ (Probabilidad de ser hombre dado que es fumador). - $P(M|F) = 1 - 0.60 = 0.40$ (Probabilidad de ser mujer dado que es fumador). - $P(M|\bar{F}) = 0.70$ (Probabilidad de ser mujer dado que no es fumador). - $P(H|\bar{F}) = 1 - 0.70 = 0.30$ (Probabilidad de ser hombre dado que no es fumador). Organizamos la información en un árbol de probabilidad:

**a) Calcula la probabilidad de que el paciente sea mujer** Para calcular la probabilidad de que el paciente sea mujer, $P(M)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El suceso mujer puede ocurrir de dos formas: siendo fumadora o no siéndolo. $$P(M) = P(F \cap M) + P(\bar{F} \cap M)$$ $$P(M) = P(F) \cdot P(M|F) + P(\bar{F}) \cdot P(M|\bar{F})$$ Sustituimos los valores obtenidos en el paso anterior: $$P(M) = (0.30 \cdot 0.40) + (0.70 \cdot 0.70)$$ $$P(M) = 0.12 + 0.49 = 0.61$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todas las probabilidades de las hojas del árbol siempre debe ser 1. Aquí, $0.18 + 0.12 + 0.49 + 0.21 = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M) = 0.61}$$

**b) Si el paciente elegido es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea fumador?** Nos piden la probabilidad de que sea fumador sabiendo que es hombre, es decir, la probabilidad condicionada $P(F|H)$. Para ello usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(F|H) = \frac{P(F \cap H)}{P(H)}$$ Primero necesitamos $P(H)$. Como ya conocemos $P(M)$, podemos calcularla por el suceso contrario: $$P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0.61 = 0.39$$ Ahora calculamos $P(F \cap H)$ que ya hemos determinado en el árbol: $$P(F \cap H) = P(F) \cdot P(H|F) = 0.30 \cdot 0.60 = 0.18$$ Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada: $$P(F|H) = \frac{0.18}{0.39}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 0.03 (o multiplicando por 100 y simplificando): $$P(F|H) = \frac{18}{39} = \frac{6}{13} \approx 0.4615$$ 💡 **Tip:** En el Teorema de Bayes, el denominador es siempre la probabilidad total del suceso condicionante (en este caso, la probabilidad de ser hombre). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F|H) = \frac{6}{13} \approx 0.4615}$$