Geometría en el espacio: distancias, planos y áreas

Para resolver cualquier apartado, primero necesitamos caracterizar la recta $r$ mediante un punto y un vector director. La recta $r$ pasa por $P(1,0,5)$ y $Q(5,2,3)$. Su vector director $\vec{v_r}$ será el vector $\vec{PQ}$: $$\vec{v_r} = \vec{PQ} = Q - P = (5-1, 2-0, 3-5) = (4, 2, -2)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 2 para facilitar los cálculos: $$\vec{v_r} = (2, 1, -1)$$ La ecuación paramétrica de la recta $r$ es: $$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 5 - \lambda \end{cases}$$

**a) Calcula la distancia del punto $A(5, -1,6)$ a la recta $r$.** Utilizaremos la fórmula de la distancia de un punto $A$ a una recta $r$ definida por un punto $P$ y un vector director $\vec{v_r}$: $$d(A, r) = \frac{|\vec{PA} \times \vec{v_r}|}{|\vec{v_r}|}$$ Calculamos el vector $\vec{PA}$: $$\vec{PA} = A - P = (5-1, -1-0, 6-5) = (4, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** La distancia de un punto a una recta representa la altura de un paralelogramo dividido por su base. Ahora calculamos el producto vectorial $\vec{PA} \times \vec{v_r}$ mediante un determinante: $$\vec{PA} \times \vec{v_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$= \mathbf{i}(1 - 1) - \mathbf{j}(-4 - 2) + \mathbf{k}(4 - (-2)) = (0, 6, 6)$$

Calculamos los módulos necesarios: - $|\vec{PA} \times \vec{v_r}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ - $|\vec{v_r}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(A, r) = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando: $$d(A, r) = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, r) = 2\sqrt{3}}$$

**b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a $r$ y pasa por el punto $A(5, -1,6)$.** Si el plano $\pi'$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v_r} = (2, 1, -1)$ será el vector normal del plano $\vec{n_{\pi'}}$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituyendo las componentes del vector normal: $$2x + y - z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $A(5, -1, 6)$, sus coordenadas deben cumplir la ecuación: $$2(5) + (-1) - (6) + D = 0$$ $$10 - 1 - 6 + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación $Ax+By+Cz+D=0$, los coeficientes $(A,B,C)$ coinciden con el vector normal al plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi': 2x + y - z - 3 = 0}$$

**c) Calcula el área del triángulo de vértices los puntos $P(1,0,5)$, $A(5, -1,6)$ y el punto de corte de la recta $r$ con el plano $\pi: 2x + y - z - 3 = 0$.** Llamemos $B$ al punto de corte entre $r$ y $\pi$. Usamos las ecuaciones paramétricas de $r$ halladas en el paso 1 y las sustituimos en la ecuación del plano $\pi$ (que curiosamente es el mismo plano hallado en el apartado anterior): $$2(1 + 2\lambda) + (\lambda) - (5 - \lambda) - 3 = 0$$ $$2 + 4\lambda + \lambda - 5 + \lambda - 3 = 0$$ $$6\lambda - 6 = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$ para obtener el punto $B$: $$B = (1 + 2(1), 1, 5 - 1) = (3, 1, 4)$$ $$\boxed{B(3, 1, 4)}$$

El área de un triángulo con vértices $P$, $A$ y $B$ se calcula como: $$Area = \frac{1}{2} |\vec{PB} \times \vec{PA}|$$ Ya conocemos: - $\vec{PA} = (4, -1, 1)$ - $\vec{PB} = B - P = (3-1, 1-0, 4-5) = (2, 1, -1)$ Notamos que $\vec{PB}$ es exactamente el vector director $\vec{v_r}$ que usamos en el apartado (a). Por tanto, el producto vectorial $\vec{PB} \times \vec{PA}$ tendrá el mismo módulo que el calculado anteriormente (solo cambiaría el signo si el orden fuera distinto, pero el módulo es idéntico): $$|\vec{PB} \times \vec{PA}| = |(0, 6, 6)| = 6\sqrt{2}$$ Calculamos el área: $$Area = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo formado por los dos vectores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = 3\sqrt{2} \text{ u}^2}$$