Continuidad, derivabilidad e integración de un polinomio

**a) Calcula los valores $a, b$ para que la función $f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x \lt 3 \\ \ln(x - 2) & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$ sea derivable en $x = 3$ y determina el punto en el que la tangente a la gráfica de $f(x)$ es paralela a la recta $x + 3y = 0$.** Para que la función sea derivable en $x = 3$, primero debe ser **continua** en dicho punto. Esto implica que los límites laterales deben coincidir con el valor de la función: 1. Límite por la izquierda ($x \to 3^-$): $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (ax^2 + b) = 9a + b$$ 2. Límite por la derecha y valor de la función ($x \to 3^+$): $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) = \ln(3 - 2) = \ln(1) = 0$$ Para la continuidad: $$9a + b = 0 \implies b = -9a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, por lo que este es siempre el primer paso necesario.

Calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} 2ax & \text{si } x \lt 3 \\ \dfrac{1}{x - 2} & \text{si } x \gt 3 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x = 3$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1. Derivada por la izquierda: $$f'(3^-) = \lim_{x \to 3^-} 2ax = 6a$$ 2. Derivada por la derecha: $$f'(3^+) = \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{3 - 2} = 1$$ Igualamos: $$6a = 1 \implies a = \frac{1}{6}$$ Sustituimos para hallar $b$: $$b = -9 \left( \frac{1}{6} \right) = -\frac{3}{2}$$ ✅ **Valores hallados:** $$\boxed{a = \frac{1}{6}, \quad b = -\frac{3}{2}}$$

La recta dada es $x + 3y = 0$. Despejamos $y$ para hallar su pendiente: $$3y = -x \implies y = -\frac{1}{3}x$$ La pendiente es $m = -1/3$. Buscamos los puntos donde $f'(x) = -1/3$. **Caso 1: $x \lt 3$** $$f'(x) = 2ax = 2 \left(\frac{1}{6}\right)x = \frac{1}{3}x$$ $$\frac{1}{3}x = -\frac{1}{3} \implies x = -1$$ Como $-1 \lt 3$, este punto es válido. Calculamos su ordenada: $$f(-1) = a(-1)^2 + b = \frac{1}{6} - \frac{3}{2} = \frac{1-9}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$$ **Caso 2: $x \gt 3$** $$f'(x) = \frac{1}{x-2} = -\frac{1}{3} \implies x - 2 = -3 \implies x = -1$$ Como $-1$ no es mayor que $3$, no hay solución en esta rama. ✅ **Resultado (Punto):** $$\boxed{P\left(-1, -\frac{4}{3}\right)}$$

**b) Si $P(x)$ es un polinomio de tercer grado, con un punto de inflexión en el punto $(0,5)$ y un extremo relativo en el punto $(1,1)$, calcula $\int_0^1 P(x) dx$.** Sea $P(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$. Sus derivadas son: $P'(x) = 3Ax^2 + 2Bx + C$ $P''(x) = 6Ax + 2B$ Utilizamos los datos: 1. Pasa por $(0,5)$: $P(0) = 5 \implies \mathbf{D = 5}$. 2. Punto de inflexión en $x=0$: $P''(0) = 0 \implies 2B = 0 \implies \mathbf{B = 0}$. 3. Pasa por $(1,1)$: $P(1) = 1 \implies A(1)^3 + 0(1)^2 + C(1) + 5 = 1 \implies A + C = -4$. 4. Extremo relativo en $x=1$: $P'(1) = 0 \implies 3A(1)^2 + 2(0)(1) + C = 0 \implies 3A + C = 0$. Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} A + C = -4 \\ 3A + C = 0 \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $2A = 4 \implies \mathbf{A = 2}$. Sustituyendo: $2 + C = -4 \implies \mathbf{C = -6}$. Por tanto, el polinomio es: $$\boxed{P(x) = 2x^3 - 6x + 5}$$ 💡 **Tip:** Un extremo relativo en $x=a$ implica $P'(a)=0$. Un punto de inflexión en $x=b$ implica $P''(b)=0$.

Calculamos la integral de $P(x)$ entre $0$ y $1$ aplicando la Regla de Barrow: $$\int_0^1 (2x^3 - 6x + 5) \, dx = \left[ 2\frac{x^4}{4} - 6\frac{x^2}{2} + 5x \right]_0^1 = \left[ \frac{x^4}{2} - 3x^2 + 5x \right]_0^1$$ Evaluamos en los límites: $$= \left( \frac{1^4}{2} - 3(1)^2 + 5(1) \right) - \left( \frac{0^4}{2} - 3(0)^2 + 5(0) \right)$$ $$= \left( \frac{1}{2} - 3 + 5 \right) - 0 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_0^1 P(x) \, dx = \frac{5}{2}}$$