Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discute, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones:** Primero, escribimos el sistema en forma matricial. Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & m \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que consiste en comparar el rango de la matriz $A$ y el de la matriz ampliada $A^*$.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = [0 + (-2) + (-1)] - [0 + (-1) + (-2)] = -3 - (-3) = 0$$ Como el determinante es $0$, el rango de $A$ no puede ser $3$. Buscamos ahora un menor de orden $2$ distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -2 \neq 0$$ Por lo tanto, el rango de $A$ es $2$ independientemente del valor de $m$. $$\boxed{\text{rg}(A) = 2}$$

Para estudiar el rango de $A^*$, tomamos el menor de orden $3$ que incluye la columna de términos independientes, utilizando las columnas $C_1$, $C_2$ y $C_4$: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & m \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = [0 + 2m + 1] - [0 + m + 2] = 2m + 1 - m - 2 = m - 1$$ Estudiamos los casos según el valor de $m$: * **Caso 1: $m - 1 \neq 0 \implies m \neq 1$** Si $m \neq 1$, entonces $|M| \neq 0$, lo que implica que $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Incompatible (S.I.)**, es decir, no tiene solución. * **Caso 2: $m - 1 = 0 \implies m = 1$** Si $m = 1$, el determinante $|M| = 0$. Como ya sabemos que hay un menor de orden $2$ no nulo en $A$ (y por tanto en $A^*$), $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (S.C.I.)**, tiene infinitas soluciones. 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si los rangos son distintos, no hay solución; si son iguales pero menores al número de incógnitas, hay infinitas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 1: \text{Sistema Incompatible} \\ m = 1: \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) Resuélvelo, si es posible, cuando $m = 1$.** Para $m=1$, el sistema es: $$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ x - z = 1 \\ x + y - z = 1 \end{cases}$$ Como el rango es $2$, una de las ecuaciones es redundante. Podemos observar que la tercera ecuación es la media aritmética de la primera y la segunda, o simplemente resolver usando las dos primeras. Usamos $x - z = 1$ y $x + 2y - z = 1$. De la segunda ecuación, despejamos $x$: $$x = 1 + z$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$(1 + z) + 2y - z = 1 \implies 1 + 2y = 1 \implies 2y = 0 \implies y = 0$$ Para dar la solución general, parametrizamos $z = \lambda$: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** En un S.C.I., siempre debemos expresar las soluciones en función de uno o más parámetros (normalmente $\lambda, \mu, \dots$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 1 + \lambda, \; y = 0, \; z = \lambda \quad (\lambda \in \mathbb{R})}$$