Probabilidad: Sucesos Independientes y Combinatoria

**a) En un experimento aleatorio, sean $A$ y $B$ dos sucesos con $P(\bar{A}) = 0,4$; $P(B) = 0,7$. Si $A$ y $B$ son independientes, calcula $P(A \cup B)$ y $P(A - B)$.** En primer lugar, calculamos la probabilidad del suceso $A$ a partir de su complementario: $$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,4 = 0,6$$ Como el enunciado indica que los sucesos $A$ y $B$ son **independientes**, la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades individuales: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,6 \cdot 0,7 = 0,42$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos sucesos son independientes si y solo si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. $$\boxed{P(A) = 0,6; \quad P(A \cap B) = 0,42}$$

Para calcular la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$, utilizamos la fórmula general: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituyendo los valores obtenidos: $$P(A \cup B) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88$$ Para la probabilidad de la diferencia $P(A - B)$, que representa la probabilidad de que ocurra $A$ y no ocurra $B$ ($P(A \cap \bar{B})$), usamos: $$P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$$ Sustituyendo: $$P(A - B) = 0,6 - 0,42 = 0,18$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{P(A \cup B) = 0,88; \quad P(A - B) = 0,18}$$

**b) En un grupo de 100 personas hay 40 hombres y 60 mujeres. Se eligen al azar 4 personas del grupo, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar más mujeres que hombres?** Tenemos un grupo de $N = 100$ personas (40 hombres y 60 mujeres) y extraemos una muestra de $n = 4$. Queremos que el número de mujeres ($M$) sea mayor que el de hombres ($H$). Los casos posibles para que haya más mujeres que hombres en una muestra de 4 son: 1. **4 mujeres y 0 hombres** ($4M, 0H$) 2. **3 mujeres y 1 hombre** ($3M, 1H$) Cualquier otra combinación (2M-2H, 1M-3H, 0M-4H) no cumple la condición de "más mujeres que hombres". 💡 **Tip:** En problemas de extracción sin reemplazo de grupos pequeños en poblaciones grandes, usamos combinaciones $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Calculamos el número total de formas de elegir a 4 personas de entre 100 (casos posibles): $$\text{Casos totales} = \binom{100}{4} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3.921.225$$ Calculamos los casos favorables para cada situación: - **Caso 4 mujeres y 0 hombres:** $$\binom{60}{4} \cdot \binom{40}{0} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1 = 487.635$$ - **Caso 3 mujeres y 1 hombre:** $$\binom{60}{3} \cdot \binom{40}{1} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 40 = 34.220 \cdot 40 = 1.368.800$$ Sumamos los casos favorables: $$\text{Favorables} = 487.635 + 1.368.800 = 1.856.435$$

Aplicamos la regla de Laplace para hallar la probabilidad final: $$P(\text{Más mujeres que hombres}) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}}$$ $$P = \frac{1.856.435}{3.921.225}$$ Simplificando o calculando el valor decimal: $$P \approx 0,4734$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{P = \frac{1.856.435}{3.921.225} \approx 0,4734}$$