Posición relativa de planos, ángulo y simetría

**a) Estudia la posición relativa de $\pi_1$ y $\pi_2$. Si se cortan, calcula el ángulo que forman.** Para estudiar la posición relativa, primero obtenemos los vectores normales de ambos planos. El plano $\pi_1: x + y - z + 2 = 0$ tiene como vector normal: $$\vec{n}_1 = (1, 1, -1)$$ Para el plano $\pi_2$, disponemos de su ecuación paramétrica, de la cual extraemos dos vectores directores: $$\vec{u} = (1, 1, -1) \quad \text{y} \quad \vec{v} = (1, 3, 0)$$ Calculamos el vector normal $\vec{n}_2$ mediante el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$: $$\vec{n}_2 = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_2 = \vec{i}(1 \cdot 0) + \vec{j}(-1 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 3) - [\vec{k}(1 \cdot 1) + \vec{i}(-1 \cdot 3) + \vec{j}(1 \cdot 0)]$$ $$\vec{n}_2 = (0, -1, 3) - (1, -3, 0) = (0-1, -1-(-3), 3-0) = (-1, 2, 3)$$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano expresado en paramétricas es el producto vectorial de sus vectores directores.

Comparamos los vectores normales $\vec{n}_1 = (1, 1, -1)$ y $\vec{n}_2 = (-1, 2, 3)$ para ver si son proporcionales: $$\frac{1}{-1} \neq \frac{1}{2} \neq \frac{-1}{3}$$ Como los vectores normales no son proporcionales, los planos no son paralelos ni coincidentes. Por lo tanto, los planos **se cortan en una recta**. ✅ **Resultado (Posición relativa):** $$\boxed{\text{Los planos } \pi_1 \text{ y } \pi_2 \text{ se cortan en una recta}}$$

El ángulo $\alpha$ que forman dos planos es el ángulo que forman sus vectores normales. Utilizamos la fórmula del producto escalar: $$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$ Calculamos el producto escalar y los módulos: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (1)(-1) + (1)(2) + (-1)(3) = -1 + 2 - 3 = -2$$ $$|\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$$ $$|\vec{n}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos(\alpha) = \frac{|-2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{42}}$$ $$\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right) \approx 72.02^\circ$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre dos planos siempre se toma como el ángulo agudo, por eso usamos el valor absoluto en el numerador. ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right) \approx 72.02^\circ}$$

**b) Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P(1,1,1)$ y es perpendicular a $\pi_1$. Calcula el punto de corte de $r$ y $\pi_1$.** Si la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi_1$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser igual (o proporcional) al vector normal del plano $\vec{n}_1 = (1, 1, -1)$. Usando el punto $P(1, 1, 1)$, escribimos la ecuación de la recta $r$ en forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Una recta perpendicular a un plano utiliza el vector normal del plano como su vector director.

Para hallar el punto de corte $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi_1$, sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano $\pi_1: x + y - z + 2 = 0$: $$(1 + t) + (1 + t) - (1 - t) + 2 = 0$$ $$1 + t + 1 + t - 1 + t + 2 = 0$$ $$3t + 3 = 0 \implies 3t = -3 \implies t = -1$$ Ahora, sustituimos $t = -1$ en las ecuaciones de la recta $r$ para obtener las coordenadas del punto $M$: $$x = 1 + (-1) = 0$$ $$y = 1 + (-1) = 0$$ $$z = 1 - (-1) = 2$$ El punto de corte es $M(0, 0, 2)$. ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{M(0, 0, 2)}$$

**c) Calcula el punto simétrico del punto $P(1,1,1)$ respecto al plano $\pi_1$** El punto de corte $M(0, 0, 2)$ calculado en el apartado anterior es el punto medio entre $P(1, 1, 1)$ y su simétrico $P'(x', y', z')$. Usamos la fórmula del punto medio: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies (0, 0, 2) = \left( \frac{1 + x'}{2}, \frac{1 + y'}{2}, \frac{1 + z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1) $0 = \frac{1 + x'}{2} \implies 0 = 1 + x' \implies x' = -1$ 2) $0 = \frac{1 + y'}{2} \implies 0 = 1 + y' \implies y' = -1$ 3) $2 = \frac{1 + z'}{2} \implies 4 = 1 + z' \implies z' = 3$ Por tanto, el punto simétrico es $P'(-1, -1, 3)$. 💡 **Tip:** El simétrico $P'$ se puede calcular también como $P' = P + 2\vec{PM}$ o simplemente despejando de la fórmula del punto medio: $P' = 2M - P$. ✅ **Resultado (Punto simétrico):** $$\boxed{P'(-1, -1, 3)}$$