Límites, Optimización de costes e Integración por partes

**a) Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - 3x^2}{e^{x^2} - \cos 2x}$** Primero evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ para identificar la indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 0 - 3(0)^2}{e^0 - \cos 0} = \frac{0 - 0}{1 - 1} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Como tenemos una indeterminación del tipo $0/0$ y las funciones son derivables en un entorno de $0$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: - Derivada del numerador: $(\sin^2 x - 3x^2)' = 2\sin x \cos x - 6x = \sin 2x - 6x$ - Derivada del denominador: $(e^{x^2} - \cos 2x)' = 2x e^{x^2} - (-2\sin 2x) = 2x e^{x^2} + 2\sin 2x$ 💡 **Tip:** Recuerda que $2\sin x \cos x = \sin 2x$. Esto simplifica mucho la derivación posterior. $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - 3x^2}{e^{x^2} - \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 6x}{2x e^{x^2} + 2\sin 2x}$$

Volvemos a evaluar el límite en $x=0$: $$\frac{\sin 0 - 6(0)}{2(0) e^0 + 2\sin 0} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital de nuevo: - Derivada del numerador: $(\sin 2x - 6x)' = 2\cos 2x - 6$ - Derivada del denominador (regla del producto): $(2x e^{x^2} + 2\sin 2x)' = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} + 4\cos 2x$ Ahora sustituimos $x=0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x - 6}{2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} + 4\cos 2x} = \frac{2\cos 0 - 6}{2e^0 + 4(0)e^0 + 4\cos 0} = \frac{2 - 6}{2 + 0 + 4} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$ ✅ **Resultado (Límite):** $$\boxed{-\dfrac{2}{3}}$$

**b) Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de $80\text{ dm}^3$. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta $2€/\text{dm}^2$ y para la base otro que cuesta $3€/\text{dm}^2$. Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo** Definimos las variables: - $x$: lado de la base cuadrada (en dm). - $h$: altura de la caja (en dm). Sabemos que el volumen es constante: $$V = x^2 \cdot h = 80 \implies h = \frac{80}{x^2}$$ La función de coste $C(x, h)$ se compone de: - Base: Área $x^2$ con coste $3€/\text{dm}^2 \to 3x^2$ - Tapa: Área $x^2$ con coste $2€/\text{dm}^2 \to 2x^2$ - Laterales: 4 caras de área $x \cdot h$ con coste $2€/\text{dm}^2 \to 4(xh) \cdot 2 = 8xh$ La función coste total es: $$C(x, h) = 3x^2 + 2x^2 + 8xh = 5x^2 + 8xh$$

Sustituimos $h = \frac{80}{x^2}$ en la función coste para que dependa de una sola variable: $$C(x) = 5x^2 + 8x\left(\frac{80}{x^2}\right) = 5x^2 + \frac{640}{x}$$ Para minimizar el coste, derivamos e igualamos a cero: $$C'(x) = 10x - \frac{640}{x^2}$$ $$10x - \frac{640}{x^2} = 0 \implies 10x^3 = 640 \implies x^3 = 64 \implies x = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ dm}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre debemos comprobar que el valor hallado es realmente un mínimo usando la segunda derivada. $$C''(x) = 10 + \frac{1280}{x^3}$$ Como $x=4 > 0$, entonces $C''(4) = 10 + \frac{1280}{64} = 30 > 0$. Por tanto, en $x=4$ hay un **mínimo**. Calculamos la altura: $$h = \frac{80}{4^2} = \frac{80}{16} = 5 \text{ dm}$$ ✅ **Resultado (Dimensiones):** $$\boxed{\text{Base: } 4 \times 4 \text{ dm, Altura: } 5 \text{ dm}}$$

**c) Calcula $\int_0^1 x \ln(1 + x) dx$** Resolvemos primero la integral indefinida utilizando el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Siguiendo la regla ALPES, elegimos $u$ como el logaritmo. Elegimos: - $u = \ln(1 + x) \implies du = \frac{1}{1 + x} dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \frac{x^2}{2}$ Aplicamos la fórmula: $$\int x \ln(1 + x) dx = \frac{x^2}{2} \ln(1 + x) - \int \frac{x^2}{2(1 + x)} dx = \frac{x^2}{2} \ln(1 + x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x + 1} dx$$

Para calcular $\int \frac{x^2}{x + 1} dx$, realizamos la división de polinomios: $$x^2 = (x + 1)(x - 1) + 1 \implies \frac{x^2}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$$ Integramos término a término: $$\int \left( x - 1 + \frac{1}{x + 1} \right) dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln|x + 1|$$ Sustituimos en la expresión original para obtener la primitiva $F(x)$: $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(1 + x) - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - x + \ln(1 + x) \right]$$ $$F(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 1) \ln(1 + x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2}$$

Aplicamos la regla de Barrow en el intervalo $[0, 1]$: $$\int_0^1 x \ln(1 + x) dx = F(1) - F(0)$$ Calculamos $F(1)$: $$F(1) = \frac{1}{2}(1^2 - 1) \ln(1 + 1) - \frac{1^2}{4} + \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ Calculamos $F(0)$: $$F(0) = \frac{1}{2}(0^2 - 1) \ln(1 + 0) - \frac{0^2}{4} + \frac{0}{2} = -\frac{1}{2} \ln(1) - 0 + 0 = 0$$ Por tanto: $$\int_0^1 x \ln(1 + x) dx = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado (Integral):** $$\boxed{\dfrac{1}{4}}$$