Rango de matrices con parámetros y ecuaciones matriciales

**a) Determina, según los valores de $\lambda$, el rango de la matriz $A A^t - \lambda I$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$ e $I$ la matriz unidad de orden 2.** En primer lugar, calculamos la matriz traspuesta $A^t$. Como $A$ es de dimensión $2 \times 3$, su traspuesta será de dimensión $3 \times 2$: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto $M = A A^t$: $$A A^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1+1 & 1+1+1 \\ 1+1+1 & 1+1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda. $$\boxed{A A^t = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}$$

Definimos la matriz $B = A A^t - \lambda I$. Sustituyendo los valores obtenidos: $$B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 3 \\ 3 & 3-\lambda \end{pmatrix}$$ Para estudiar el rango, calculamos su determinante: $$|B| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 3 \\ 3 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)^2 - 3^2$$ $$|B| = (9 - 6\lambda + \lambda^2) - 9 = \lambda^2 - 6\lambda$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$\lambda^2 - 6\lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 6) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: **$\lambda = 0$** y **$\lambda = 6$**. $$\boxed{|B| = \lambda^2 - 6\lambda}$$

Analizamos el rango de $B$ según los valores del parámetro $\lambda$: 1. **Si $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 6$**: El determinante $|B| \neq 0$. Por tanto, la matriz $B$ es regular (tiene inversa) y su rango es máximo. $$\text{rango}(A A^t - \lambda I) = 2$$ 2. **Si $\lambda = 0$**: La matriz resulta $B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$. El determinante es $0$. Como existe al menos un elemento distinto de cero (por ejemplo, el $3$), el rango es $1$. $$\text{rango}(A A^t - 0I) = 1$$ 3. **Si $\lambda = 6$**: La matriz resulta $B = \begin{pmatrix} 3-6 & 3 \\ 3 & 3-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$. El determinante es $0$. Como existe al menos un elemento distinto de cero, el rango es $1$. $$\text{rango}(A A^t - 6I) = 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0, 6\} & \text{rango} = 2 \\ \text{Si } \lambda = 0 \text{ o } \lambda = 6 & \text{rango} = 1 \end{cases}}$$

**b) Determina la matriz $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ que verifica la ecuación matricial $A A^t X = 6X$.** Podemos reescribir la ecuación $A A^t X = 6X$ llevando todos los términos a un lado: $$A A^t X - 6X = 0 \implies (A A^t - 6I)X = 0$$ Observamos que la matriz $(A A^t - 6I)$ es exactamente la matriz estudiada en el apartado anterior para el caso $\lambda = 6$: $$B_{\lambda=6} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$$ Sustituimos en la ecuación matricial: $$\begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo: $$\begin{cases} -3x + 3y = 0 \\ 3x - 3y = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Una ecuación matricial del tipo $MX = 0$ siempre tiene la solución trivial $X=0$, pero si el determinante de $M$ es cero, existen infinitas soluciones.

Ambas ecuaciones del sistema son proporcionales ($E_2 = -E_1$), por lo que el sistema es compatible indeterminado. Solo necesitamos una de ellas: $$-3x + 3y = 0 \implies 3x = 3y \implies x = y$$ Podemos expresar la solución en función de un parámetro real $k \in \mathbb{R}$: $$x = k, \quad y = k$$ Por tanto, la matriz $X$ buscada es de la forma: $$X = \begin{pmatrix} k \\ k \end{pmatrix}, \quad \forall k \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} k \\ k \end{pmatrix} \text{ con } k \in \mathbb{R}}$$