Distribución normal de ventas en un restaurante

Primero, definimos la variable aleatoria que describe el problema: Sea $X$ el total de ventas diarias en el restaurante expresado en euros (€). Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal con los siguientes parámetros: - Media: $\mu = 1220$ - Desviación típica: $\sigma = 120$ Por tanto, podemos escribir: $$X \sim N(1220, 120)$$ Para calcular probabilidades en una distribución normal, debemos transformar la variable $X$ en una variable normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 1220}{120}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar permite utilizar las tablas de la distribución normal estándar para hallar las probabilidades deseadas.

**a) Calcula la probabilidad de que en un día elegido al azar las ventas excedan de $1400€$.** Buscamos calcular $P(X \gt 1400)$. Procedemos a tipificar el valor: $$P(X \gt 1400) = P\left(Z \gt \frac{1400 - 1220}{120}\right)$$ Realizamos la operación en el numerador: $$1400 - 1220 = 180$$ $$P\left(Z \gt \frac{180}{120}\right) = P(Z \gt 1.5)$$ Como la tabla de la normal estándar nos da valores para $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 1.5) = 1 - P(Z \le 1.5)$$ Buscamos en la tabla el valor para $z = 1.5$: $$P(Z \le 1.5) = 0.9332$$ Finalmente: $$P(X \gt 1400) = 1 - 0.9332 = 0.0668$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 1400) = 0.0668}$$

**b) Si el restaurante debe vender al menos $980€$ al día para cubrir los gastos, ¿cuál es la probabilidad de que un día elegido al azar, el restaurante no cubra gastos?** El restaurante no cubre gastos si las ventas son estrictamente menores a $980€$. Por tanto, buscamos $P(X \lt 980)$. Tipificamos el valor: $$P(X \lt 980) = P\left(Z \lt \frac{980 - 1220}{120}\right)$$ Calculamos la diferencia y dividimos: $$980 - 1220 = -240$$ $$P\left(Z \lt \frac{-240}{120}\right) = P(Z \lt -2)$$ Por simetría de la campana de Gauss, $P(Z \lt -z) = P(Z \gt z)$. Además, aplicamos el complementario: $$P(Z \lt -2) = P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscamos en la tabla el valor para $z = 2.0$: $$P(Z \le 2) = 0.9772$$ Calculamos la probabilidad final: $$P(X \lt 980) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$ 💡 **Tip:** En una distribución continua como la normal, $P(X \lt a)$ es equivalente a $P(X \le a)$, ya que la probabilidad de un punto exacto es cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 980) = 0.0228}$$