Posición relativa de planos, distancias y rectas en el espacio

**a) Estudia la posición relativa de los planos $\alpha$ y $\beta$. Calcula la distancia entre ellos.** Para estudiar la posición relativa de dos planos, primero obtenemos sus vectores normales. Para el plano $\alpha$, el vector normal se extrae directamente de los coeficientes de su ecuación implícita $2x - 2y + 4z - 7 = 0$: $$\vec{n}_\alpha = (2, -2, 4)$$ Para el plano $\beta$, nos dan su ecuación paramétrica. Los vectores directores del plano son los coeficientes de los parámetros $\lambda$ y $\mu$: $$\vec{u}_\beta = (-1, 1, 1), \quad \vec{v}_\beta = (3, 1, -1)$$ El vector normal $\vec{n}_\beta$ se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n}_\beta = \vec{u}_\beta \times \vec{v}_\beta = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_\beta = \mathbf{i}(-1-1) - \mathbf{j}(1-3) + \mathbf{k}(-1-3) = -2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 4\mathbf{k} = (-2, 2, -4)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $\pi: Ax+By+Cz+D=0$ es siempre $\vec{n}=(A,B,C)$.

Comparamos los vectores normales $\vec{n}_\alpha = (2, -2, 4)$ y $\vec{n}_\beta = (-2, 2, -4)$. Observamos que son proporcionales: $$\frac{2}{-2} = \frac{-2}{2} = \frac{4}{-4} = -1 \implies \vec{n}_\alpha = -1 \cdot \vec{n}_\beta$$ Esto indica que los planos son **paralelos o coincidentes**. Para diferenciarlos, tomamos un punto de $\beta$ y comprobamos si pertenece a $\alpha$. De las ecuaciones paramétricas de $\beta$, obtenemos el punto $B(1, 5, 4)$ (haciendo $\lambda = 0, \mu = 0$). Sustituimos $B(1, 5, 4)$ en la ecuación de $\alpha$: $$2(1) - 2(5) + 4(4) - 7 = 2 - 10 + 16 - 7 = 1 \neq 0$$ Como el punto no satisface la ecuación, los planos son estrictamente paralelos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los planos } \alpha \text{ y } \beta \text{ son paralelos.}}$$

La distancia entre dos planos paralelos es la distancia de un punto de uno de ellos al otro plano. Calculamos $d(\alpha, \beta) = d(B, \alpha)$, siendo $B(1, 5, 4)$. Usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$d(B, \alpha) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$d(B, \alpha) = \frac{|2(1) - 2(5) + 4(4) - 7|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{4 + 4 + 16}} = \frac{1}{\sqrt{24}}$$ Simplificamos el resultado: $$\frac{1}{\sqrt{24}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(\alpha, \beta) = \frac{\sqrt{6}}{12} \approx 0.204 \text{ u.l.}}$$

**b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a $\alpha$ y contiene a la recta $r$.** Sea $\pi$ el plano buscado. Para determinarlo necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal). 1. Como $\pi$ contiene a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{d}_r$ será un vector director del plano, y cualquier punto de la recta pertenecerá al plano. Obtenemos $\vec{d}_r$ mediante el producto vectorial de los normales de los planos que definen $r$: $$\vec{d}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-2) - \mathbf{j}(0-0) + \mathbf{k}(1-0) = (-2, 0, 1)$$ 2. Obtenemos un punto $R$ de la recta $r$. Si hacemos $z=0$ en las ecuaciones de $r$: $$x + 2(0) - 3 = 0 \implies x = 3$$ $$y - 5 = 0 \implies y = 5$$ El punto es $R(3, 5, 0)$. 3. Como el plano $\pi$ es perpendicular a $\alpha$, el vector normal de $\alpha$ será un vector director de nuestro plano $\pi$: $$\vec{n}_\alpha = (2, -2, 4) \equiv (1, -1, 2)$$

Ya tenemos el punto $R(3, 5, 0)$ y los dos vectores directores del plano $\pi$: $\vec{d}_r = (-2, 0, 1)$ y $\vec{n}_\alpha = (1, -1, 2)$. Calculamos el vector normal de $\pi$ mediante su producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{d}_r \times \vec{n}_\alpha = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-(-1)) - \mathbf{j}(-4-1) + \mathbf{k}(2-0) = (1, 5, 2)$$ La ecuación del plano será: $$1(x - 3) + 5(y - 5) + 2(z - 0) = 0$$ $$x - 3 + 5y - 25 + 2z = 0 \implies x + 5y + 2z - 28 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 5y + 2z - 28 = 0}$$

**c) Sean $P$ y $Q$ los puntos de corte de la recta $r$ con los planos $XY$ y $YZ$ respectivamente. Calcula la distancia entre $P$ y $Q$.** La recta $r$ en forma paramétrica, usando el punto $R(3, 5, 0)$ y el vector $\vec{d}_r = (-2, 0, 1)$, es: $$r: \begin{cases} x = 3 - 2k \\ y = 5 \\ z = k \end{cases}$$ 1. **Punto $P$ (corte con el plano $XY$):** El plano $XY$ tiene por ecuación $z = 0$. $$k = 0 \implies x = 3, y = 5, z = 0 \implies P(3, 5, 0)$$ 2. **Punto $Q$ (corte con el plano $YZ$):** El plano $YZ$ tiene por ecuación $x = 0$. $$3 - 2k = 0 \implies k = \frac{3}{2}$$ Sustituimos $k$: $$x = 0, y = 5, z = \frac{3}{2} \implies Q(0, 5, 1.5)$$ 💡 **Tip:** El plano $XY$ es $z=0$, el plano $XZ$ es $y=0$ y el plano $YZ$ es $x=0$.

La distancia entre dos puntos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $Q(x_2, y_2, z_2)$ es el módulo del vector $\vec{PQ}$: $$\vec{PQ} = Q - P = (0 - 3, 5 - 5, 1.5 - 0) = (-3, 0, 1.5)$$ $$d(P, Q) = |\vec{PQ}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (1.5)^2}$$ $$d(P, Q) = \sqrt{9 + 0 + 2.25} = \sqrt{11.25}$$ Expresado en forma de fracción para mayor precisión: $$11.25 = \frac{45}{4} \implies d(P, Q) = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, Q) = \frac{3\sqrt{5}}{2} \approx 3.354 \text{ u.l.}}$$