Estudio de continuidad, derivabilidad, tangentes e integración de una función con valor absoluto

Para trabajar con la función $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$, primero debemos eliminar el valor absoluto basándonos en la definición: $$|x| = \begin{cases} -x & \text{si } x < 0 \\ x & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Sustituyendo en nuestra función, obtenemos una función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{1-x} & \text{si } x < 0 \\ \dfrac{x}{1+x} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas un valor absoluto en una función que debas derivar o integrar, el primer paso es reescribirla separando los intervalos donde el argumento del valor absoluto cambia de signo.

**a) Estudia, en $x = 0$, la continuidad y derivabilidad de $f(x)$.** Para que la función sea continua en $x = 0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. **Valor de la función:** $f(0) = \frac{0}{1+0} = 0$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{1-x} = \frac{0}{1} = 0$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{1+x} = \frac{0}{1} = 0$. Como $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, la función es **continua en $x = 0$**. ✅ **Resultado (Continuidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } x = 0}$$

Una vez comprobada la continuidad, estudiamos la derivabilidad calculando las derivadas laterales. Derivamos cada rama de la función: Para $x < 0$: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (1-x) - x \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$$ Para $x > 0$: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (1+x) - x \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{1+x-x}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$$ Evaluamos las derivadas laterales en $x = 0$: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{(1-x)^2} = 1$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{(1+x)^2} = 1$. Como las derivadas laterales existen y son iguales ($f'(0^-) = f'(0^+) = 1$), la función es **derivable en $x = 0$** y $f'(0) = 1$. ✅ **Resultado (Derivabilidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } x = 0}$$

**b) Determina los puntos de la gráfica de $f(x)$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $x - 4y = 0$ y determina las ecuaciones de esas rectas tangentes.** Primero, hallamos la pendiente de la recta dada $x - 4y = 0$. Despejamos $y$: $$4y = x \implies y = \frac{1}{4}x$$ La pendiente es **$m = \frac{1}{4}$**. Buscamos los puntos donde $f'(x) = \frac{1}{4}$. Debemos analizar ambas ramas de la derivada: 1. **Rama $x < 0$:** $$\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1}{4} \implies (1-x)^2 = 4$$ Esto nos da dos soluciones: $1-x = 2 \implies x = -1$ y $1-x = -2 \implies x = 3$. Solo nos sirve **$x = -1$** (porque pertenece al intervalo $x < 0$). 2. **Rama $x \ge 0$:** $$\frac{1}{(1+x)^2} = \frac{1}{4} \implies (1+x)^2 = 4$$ Esto nos da dos soluciones: $1+x = 2 \implies x = 1$ y $1+x = -2 \implies x = -3$. Solo nos sirve **$x = 1$** (porque pertenece al intervalo $x \ge 0$). 💡 **Tip:** Recuerda comprobar siempre que la solución obtenida pertenece al intervalo de la rama que estás analizando.

Calculamos las coordenadas $y$ de los puntos encontrados y sus ecuaciones: - **Para $x = -1$:** $y = f(-1) = \frac{-1}{1+|-1|} = -\frac{1}{2}$. El punto es $P_1(-1, -1/2)$. Recta tangente: $y - (-1/2) = 1/4(x - (-1)) \implies y + 1/2 = 1/4(x + 1)$. Multiplicando por 4: $4y + 2 = x + 1 \implies \mathbf{x - 4y - 1 = 0}$. - **Para $x = 1$:** $y = f(1) = \frac{1}{1+|1|} = \frac{1}{2}$. El punto es $P_2(1, 1/2)$. Recta tangente: $y - 1/2 = 1/4(x - 1)$. Multiplicando por 4: $4y - 2 = x - 1 \implies \mathbf{x - 4y + 1 = 0}$. ✅ **Resultado (Puntos y Rectas):** $$\boxed{P_1(-1, -1/2) \implies x - 4y - 1 = 0 \quad ; \quad P_2(1, 1/2) \implies x - 4y + 1 = 0}$$

**c) Calcula $\int_{-1}^0 f(x) dx$.** En el intervalo $[-1, 0]$, la función es $f(x) = \frac{x}{1-x}$. Para integrar una función racional donde el grado del numerador es igual al del denominador, podemos realizar una división polinómica o un ajuste en el numerador: $$\frac{x}{1-x} = \frac{x-1+1}{-(x-1)} = \frac{x-1}{-(x-1)} + \frac{1}{-(x-1)} = -1 - \frac{1}{x-1} = -1 + \frac{1}{1-x}$$ Ahora calculamos la integral indefinida: $$\int \left( -1 + \frac{1}{1-x} \right) dx = -x - \ln|1-x| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{a-x} dx = -\ln|a-x|$, por la regla de la cadena (el signo menos viene de la derivada de $-x$).

Aplicamos los límites de integración de $-1$ a $0$: $$\int_{-1}^0 \frac{x}{1-x} dx = \left[ -x - \ln|1-x| \right]_{-1}^0$$ Sustituimos el límite superior: $$(-0 - \ln|1-0|) = 0 - 0 = 0$$ Sustituimos el límite inferior: $$-(-1) - \ln|1-(-1)| = 1 - \ln(2)$$ Restamos los valores (Barrow): $$0 - (1 - \ln 2) = \ln 2 - 1$$ ✅ **Resultado (Integral):** $$\boxed{\ln 2 - 1 \approx -0.3068}$$ Este resultado tiene sentido ya que en el intervalo $[-1, 0]$ la función es negativa, por lo que su integral definida debe ser negativa.