Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discute, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones:** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de los coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada con los términos independientes: $$A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & m & -2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & m \\ 1 & m & -2 & m \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando los rangos según el valor del determinante de la matriz $A$.

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & m & -2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [3 \cdot (-1) \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot m] - [0 \cdot (-1) \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot m + (-2) \cdot 1 \cdot (-2)]$$ $$|A| = [6 - 2 + 0] - [0 + 3m + 4]$$ $$|A| = 4 - 3m - 4 = -3m$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos del parámetro: $$-3m = 0 \implies m = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el rango de dicha matriz es igual al número de incógnitas.

Analizamos los casos posibles según el valor de $m$: **Caso 1: $m \neq 0$** Si $m \neq 0$, entonces $|A| \neq 0$. Por tanto: - $\text{rang}(A) = 3$ - $\text{rang}(A^*) = 3$ - $nº \text{ incógnitas} = 3$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)** (tiene una solución única). **Caso 2: $m = 0$** Si $m = 0$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 3$. Veamos la matriz ampliada para este valor: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right)$$ Como es un sistema homogéneo (la columna de términos independientes es nula), $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*)$ siempre. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 - (-2) = -1 \neq 0$$ Por tanto: - $\text{rang}(A) = 2$ - $\text{rang}(A^*) = 2$ - $nº \text{ incógnitas} = 3$ Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) \lt nº \text{ incógnitas}$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq 0: \text{SCD} \\ \text{Si } m = 0: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Resuélvelo, si es posible, cuando $m = 0$.** Como hemos visto, para $m = 0$ el sistema es compatible indeterminado. El sistema queda: $$\begin{cases} 3x - 2y = 0 \\ x - y + z = 0 \\ x - 2z = 0 \end{cases}$$ Como el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación (por ejemplo, la segunda) y resolver las otras en función de un parámetro. Usaremos la primera y la tercera por sencillez: 1. De la ecuación $3x - 2y = 0$, despejamos $y$: $$2y = 3x \implies y = \frac{3}{2}x$$ 2. De la ecuación $x - 2z = 0$, despejamos $z$: $$2z = x \implies z = \frac{1}{2}x$$ Tomando $x = 2\lambda$ para evitar fracciones, obtenemos: $x = 2\lambda$ $y = \frac{3}{2}(2\lambda) = 3\lambda$ $z = \frac{1}{2}(2\lambda) = \lambda$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, la solución siempre dependerá de un parámetro (grado de libertad = $3 - 2 = 1$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$