Independencia y probabilidad condicionada

**a) ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? Justifica la respuesta.** Para comprobar si dos sucesos son independientes, primero necesitamos conocer el valor de su intersección, $P(A \cap B)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos del enunciado: $$0,9 = 0,7 + 0,6 - P(A \cap B)$$ Despejamos $P(A \cap B)$: $$P(A \cap B) = 0,7 + 0,6 - 0,9 = 1,3 - 0,9 = 0,4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la unión siempre suma las probabilidades individuales y resta la intersección para no contar dos veces los elementos comunes. $$\boxed{P(A \cap B) = 0,4}$$

Con los datos obtenidos y los del enunciado, podemos completar una tabla de contingencia para visualizar todas las probabilidades del experimento. Calculamos primero los complementarios: - $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$ - $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$ Y las intersecciones restantes: - $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0,7 - 0,4 = 0,3$ - $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,6 - 0,4 = 0,2$ - $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = 0,4 - 0,3 = 0,1$ $$ \begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\\hline A & 0,4 & 0,3 & 0,7 \\ \bar{A} & 0,2 & 0,1 & 0,3 \\\hline \text{Total} & 0,6 & 0,4 & 1,0 \end{array} $$

Dos sucesos $A$ y $B$ son **independientes** si y solo si se cumple que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0,7 \cdot 0,6 = 0,42$$ Comparamos con el valor de la intersección calculado anteriormente: $$P(A \cap B) = 0,4 \neq 0,42$$ Al no cumplirse la igualdad, concluimos que los sucesos no son independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes, ya que } P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)}$$

**b) Calcula $P(A - B)$ y $P(A/\bar{B})$.** El suceso $A - B$ representa los elementos que están en $A$ pero no están en $B$. Es equivalente a la intersección de $A$ con el complementario de $B$: $$P(A - B) = P(A \cap \bar{B})$$ Como ya hemos razonado en la tabla de contingencia: $$P(A - B) = P(A) - P(A \cap B) = 0,7 - 0,4 = 0,3$$ 💡 **Tip:** Gráficamente, $A-B$ es el conjunto $A$ al que le hemos "quitado" el trozo que comparte con $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A - B) = 0,3}$$

Para calcular $P(A/\bar{B})$, que es la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ha ocurrido el complementario de $B$, aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(A/\bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$ Sabemos que: - $P(A \cap \bar{B}) = 0,3$ (calculado en el paso anterior) - $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$ Sustituimos en la fórmula: $$P(A/\bar{B}) = \frac{0,3}{0,4} = \frac{3}{4} = 0,75$$ 💡 **Tip:** En la probabilidad condicionada $P(X/Y)$, el suceso que está después de la barra (o debajo) es el que actúa como nuevo espacio muestral (denominador). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A/\bar{B}) = 0,75}$$