Geometría en el espacio: Posición relativa, paralelismo y distancias

**a) Estudia su posición relativa.** Primero, obtenemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v_r}$ de la recta $r$, que pasa por los puntos $A(0,1,3)$ y $B(1,1,1)$. El vector director será: $$\vec{v_r} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 1-1, 1-3) = (1, 0, -2)$$ Como punto de la recta, tomamos $A$: $$P_r(0, 1, 3)$$ La recta $r$ en paramétricas es: $$r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 \\ z = 3 - 2\lambda \end{cases}$$

La recta $s$ viene dada por la intersección de dos planos. Para obtener su vector director $\vec{v_s}$ y un punto $P_s$, resolvemos el sistema o usamos el producto vectorial de los normales. $s: \begin{cases} x + y - 2z - 1 = 0 \\ y - 2z = 0 \end{cases}$ De la segunda ecuación, despejamos $y = 2z$. Sustituyendo en la primera: $$x + (2z) - 2z - 1 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Si parametrizamos haciendo $z = \mu$, obtenemos: $$s: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2\mu \\ z = \mu \end{cases}$$ Por lo tanto: - Vector director: $\vec{v_s} = (0, 2, 1)$ - Punto: $P_s(1, 0, 0)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una variable y despejar las demás.

Comparamos los vectores directores $\vec{v_r}=(1, 0, -2)$ y $\vec{v_s}=(0, 2, 1)$. No son proporcionales (ya que $\frac{1}{0} \neq \frac{0}{2} \neq \frac{-2}{1}$), por lo que las rectas se cortan o se cruzan. Consideramos el vector que une los puntos de ambas rectas: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1-0, 0-1, 0-3) = (1, -1, -3)$$ Calculamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores mediante la regla de Sarrus: $$\det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -3 \end{vmatrix}$$ $$\det = [1 \cdot 2 \cdot (-3) + 0 \cdot 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 \cdot (-1)] - [(-2) \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \cdot (-3)]$$ $$\det = [-6 + 0 + 0] - [-4 - 1 + 0] = -6 - (-5) = -1$$ Como el determinante es distinto de cero (rango 3), los vectores son linealmente independientes y las rectas no están en el mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) ¿Es $r$ paralela al plano $YZ$? ¿Está contenida en dicho plano?** El plano $YZ$ tiene como ecuación **$x = 0$**. Su vector normal es $\vec{n}_{YZ} = (1, 0, 0)$. Para que la recta $r$ sea paralela al plano, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano (es decir, su producto escalar debe ser cero). $$\vec{v_r} \cdot \vec{n}_{YZ} = (1, 0, -2) \cdot (1, 0, 0) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 = 1$$ Como $\vec{v_r} \cdot \vec{n}_{YZ} = 1 \neq 0$, la recta no es perpendicular al vector normal. Por tanto, la recta **no es paralela** al plano $YZ$. Consecuentemente, al no ser paralela, **tampoco puede estar contenida** en él (una recta contenida es un caso particular de paralelismo). 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, su vector director y el vector normal del plano son perpendiculares ($v \cdot n = 0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es paralela ni está contenida en el plano } YZ}$$

**c) Calcula la distancia de la recta $r$ al plano $\pi: 2x + z = 0$.** Primero estudiamos si la recta es paralela al plano $\pi$. El vector normal de $\pi$ es $\vec{n_\pi} = (2, 0, 1)$. Comprobamos el producto escalar con $\vec{v_r} = (1, 0, -2)$: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (1, 0, -2) \cdot (2, 0, 1) = 1(2) + 0(0) + (-2)(1) = 2 - 2 = 0$$ Como el producto es cero, la recta $r$ es paralela a $\pi$ o está contenida en él. Comprobamos si el punto $P_r(0, 1, 3)$ pertenece a $\pi$: $$2(0) + 3 = 3 \neq 0$$ El punto no cumple la ecuación del plano, por lo que la recta es **estrictamente paralela** al plano.

Como la recta es paralela al plano, la distancia de la recta al plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta (usaremos $P_r$) al plano. Usamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituyendo con $P_r(0, 1, 3)$ y $\pi: 2x + z = 0$: $$d(r, \pi) = \frac{|2(0) + 0(1) + 1(3) + 0|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{3\sqrt{5}}{5} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{3\sqrt{5}}{5}}$$