Límites con exponenciales, integración y extremos relativos

**a) Calcula: i) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 3e^{2x}}{x + e^{2x}}$; ii) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 3e^{2x}}{x + e^{2x}}$** Empezamos con el primer límite: i) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 3e^{2x}}{x + e^{2x}}$. Observamos el comportamiento de los términos cuando $x \to -\infty$. Sabemos que $e^{2x} \to e^{-\infty} = 0$. Por lo tanto, el límite presenta una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ debido a la variable $x$: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 3e^{2x}}{x + e^{2x}} = \frac{-\infty + 3(0)}{-\infty + 0} = \left[ \frac{-\infty}{-\infty} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 3e^{2x}}{x + e^{2x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{(x + 3e^{2x})'}{(x + e^{2x})'} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + 6e^{2x}}{1 + 2e^{2x}}$$ Como $e^{2x} \to 0$ cuando $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1 + 6(0)}{1 + 2(0)} = \frac{1}{1} = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$. Esto simplifica mucho los límites con exponenciales negativas. ✅ **Resultado i):** $$\boxed{1}$$

Calculamos ahora ii) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 3e^{2x}}{x + e^{2x}}$. En este caso, tanto $x$ como $e^{2x}$ tienden a $+\infty$, por lo que tenemos una indeterminación $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 3e^{2x}}{x + e^{2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + 6e^{2x}}{1 + 2e^{2x}}$$ Seguimos teniendo una indeterminación $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$, ya que las exponenciales dominan. Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 + 6e^{2x}}{1 + 2e^{2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{12e^{2x}}{4e^{2x}}$$ Simplificamos la expresión cancelando $e^{2x}$ (ya que $e^{2x} \neq 0$): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{12}{4} = 3$$ 💡 **Tip:** Cuando tengas cocientes de exponenciales de la misma base y exponente, el límite al infinito suele ser el cociente de sus coeficientes principales. ✅ **Resultado ii):** $$\boxed{3}$$

**b) La derivada de una función $f(x)$, que tiene por dominio $(0, \infty)$, es $f'(x) = 1 + \ln x$. Determina la función $f(x)$ teniendo en cuenta que su gráfica pasa por el punto $(1,4)$.** Para hallar $f(x)$, debemos integrar su derivada: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (1 + \ln x) \, dx = \int 1 \, dx + \int \ln x \, dx$$ La integral de $1$ es inmediata: $\int 1 \, dx = x$. Para calcular $\int \ln x \, dx$, usamos el método de **integración por partes**: Sea $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ Sea $dv = dx \implies v = x$ Aplicando $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x$$ Sumando ambas partes: $$f(x) = x + (x \ln x - x) + C = x \ln x + C$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca la constante de integración $C$ al resolver integrales indefinidas. $$\boxed{f(x) = x \ln x + C}$$

Sabemos que la gráfica de $f(x)$ pasa por el punto $(1, 4)$, lo que significa que $f(1) = 4$. Sustituimos $x = 1$ en nuestra expresión de $f(x)$ e igualamos a $4$: $$f(1) = 1 \cdot \ln(1) + C = 4$$ Como $\ln(1) = 0$: $$0 + C = 4 \implies C = 4$$ Por tanto, la función buscada es: $$f(x) = x \ln x + 4$$ ✅ **Resultado b):** $$\boxed{f(x) = x \ln x + 4}$$

**c) Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de $f(x)$.** Para hallar los extremos relativos, buscamos los puntos donde la primera derivada es cero: $$f'(x) = 1 + \ln x = 0 \implies \ln x = -1$$ Aplicando la definición de logaritmo ($x = e^{y}$): $$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$$ Como el dominio de la función es $(0, \infty)$ y $\frac{1}{e} \approx 0.368$ pertenece al dominio, este es nuestro candidato a extremo. 💡 **Tip:** Los puntos críticos ocurren donde la derivada es cero o no existe. Aquí $f'(x)$ existe en todo el dominio $(0, \infty)$.

Estudiamos el signo de $f'(x)$ a ambos lados de $x = \frac{1}{e}$ para ver si es máximo o mínimo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1/e) & 1/e & (1/e, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(0, 1/e)$, probamos con $x = 0.1$: $f'(0.1) = 1 + \ln(0.1) \approx 1 - 2.3 = -1.3 < 0$ (**decreciente**). - En $(1/e, +\infty)$, probamos con $x = 1$: $f'(1) = 1 + \ln(1) = 1 > 0$ (**creciente**). Al pasar de decreciente a creciente, existe un **mínimo relativo** en $x = \frac{1}{e}$. Calculamos la ordenada del punto: $$f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \ln\left(\frac{1}{e}\right) + 4 = \frac{1}{e} (-1) + 4 = 4 - \frac{1}{e}$$ ✅ **Resultado c):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } \left(\frac{1}{e}, 4 - \frac{1}{e}\right). \text{ No existen máximos relativos.}}$$