Rango de productos de matrices y resolución de sistemas homogéneos

**a) Determina, según los valores de $k$, el rango de las matrices $AB$ y $BA$.** Primero, calculamos la matriz producto $AB$. Como $A$ es de dimensiones $3 \times 2$ y $B$ es $2 \times 3$, el resultado $AB$ será una matriz cuadrada de orden $3 \times 3$. $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot 3 & 1\cdot 1 + 0\cdot 1 & 1\cdot(-3) + 0\cdot(-1) \\ k\cdot 1 + 1\cdot 3 & k\cdot 1 + 1\cdot 1 & k\cdot(-3) + 1\cdot(-1) \\ 1\cdot 1 + 1\cdot 3 & 1\cdot 1 + 1\cdot 1 & 1\cdot(-3) + 1\cdot(-1) \end{pmatrix}$$ Operando obtenemos: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ k+3 & k+1 & -3k-1 \\ 4 & 2 & -4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

Para hallar el rango de $AB$, estudiamos su determinante: $$|AB| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ k+3 & k+1 & -3k-1 \\ 4 & 2 & -4 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $|AB| = [1(k+1)(-4) + 1(-3k-1)4 + (-3)(k+3)2] - [(-3)(k+1)4 + 1(k+3)(-4) + 1(-3k-1)2]$ $|AB| = [-4k-4 -12k-4 -6k-18] - [-12k-12 -4k-12 -6k-2]$ $|AB| = (-22k-26) - (-22k-26) = 0$$ Como el determinante es $0$ para cualquier valor de $k$, el $rango(AB) \lt 3$. Esto es lógico, ya que $rango(AB) \le \min(rango(A), rango(B))$, y al ser $A$ de $3 \times 2$, su rango máximo es $2$. Buscamos ahora un menor de orden $2$ distinto de cero. Tomamos, por ejemplo, el formado por las esquinas superiores e inferiores de las dos primeras columnas: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 4 = -2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden $2$ no nulo, concluimos que: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{rango}(AB) = 2 \text{ para cualquier valor de } k}$$ 💡 **Tip:** El rango de un producto de matrices nunca puede ser superior al menor de los rangos de las matrices que se multiplican.

Calculamos ahora el producto $BA$. Como $B$ es $2 \times 3$ y $A$ es $3 \times 2$, el resultado será una matriz cuadrada de orden $2 \times 2$. $$BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1) + 1(k) - 3(1) & 1(0) + 1(1) - 3(1) \\ 3(1) + 1(k) - 1(1) & 3(0) + 1(1) - 1(1) \end{pmatrix}$$ Operando: $$BA = \begin{pmatrix} k-2 & -2 \\ k+2 & 0 \end{pmatrix}$$

Calculamos el determinante de $BA$: $$|BA| = \begin{vmatrix} k-2 & -2 \\ k+2 & 0 \end{vmatrix} = (k-2)\cdot 0 - (-2)(k+2) = 2(k+2) = 2k + 4$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$2k + 4 = 0 \implies k = -2$$ Analizamos los casos: - **Si $k \neq -2$**: El determinante es distinto de cero, por lo que el rango es máximo. $$\boxed{rango(BA) = 2}$$ - **Si $k = -2$**: La matriz queda $BA = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. El determinante es $0$, pero existe un elemento distinto de cero (por ejemplo, $-4$), por lo que el rango es $1$. $$\boxed{rango(BA) = 1}$$ 💡 **Tip:** Una matriz de orden $n$ tiene rango $n$ si y solo si su determinante es distinto de cero.

**b) Para el valor $k = 0$, determina las matrices $X$ que verifican $ABX = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.** Si $k=0$, sustituimos en la matriz $AB$ obtenida en el apartado a): $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 3 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & -4 \end{pmatrix}$$ Sea $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$. El sistema $ABX = 0$ es un sistema homogéneo: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 3 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Escribimos las ecuaciones correspondientes: $$\begin{cases} x + y - 3z = 0 \\ 3x + y - z = 0 \\ 4x + 2y - 4z = 0 \end{cases}$$ Observamos que la tercera ecuación es la suma de las dos primeras ($E_3 = E_1 + E_2$), lo cual confirma que el rango es $2$ y el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones).

Resolvemos el sistema utilizando las dos primeras ecuaciones y pasando $z$ al segundo miembro como parámetro ($z = \lambda$): 1) $x + y = 3\lambda$ 2) $3x + y = \lambda$ Restamos la ecuación (2) menos la (1): $$(3x + y) - (x + y) = \lambda - 3\lambda \implies 2x = -2\lambda \implies x = -\lambda$$ Sustituimos $x = -\lambda$ en la primera ecuación: $$-\lambda + y = 3\lambda \implies y = 4\lambda$$ Por tanto, las matrices $X$ son de la forma: $$X = \begin{pmatrix} -\lambda \\ 4\lambda \\ \lambda \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -\lambda \\ 4\lambda \\ \lambda \end{pmatrix}, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo con $rango(A) \lt n$, siempre existen infinitas soluciones. Se resuelven eligiendo $n - rango(A)$ incógnitas como parámetros.