Probabilidad en asociación deportiva

**5.- Una asociación deportiva tiene 1000 socios, el 40 % de ellos mujeres. Están repartidos en tres secciones y cada socio sólo pertenece a una sección. En la sección de baloncesto hay 400 socios, 120 de ellos mujeres, en la de natación hay 350 socios, 180 de ellos mujeres, y en la de tenis están el resto de los socios. Calcule la probabilidad de que un socio seleccionado al azar sea varón y de la sección de tenis. (1 punto)** Primero, definimos los sucesos según la información del enunciado: - $M$: El socio es mujer. - $V$: El socio es varón (suceso contrario a mujer). - $B$: El socio pertenece a baloncesto. - $N$: El socio pertenece a natación. - $T$: El socio pertenece a tenis. Calculamos los totales generales: - Total de socios: $1000$. - Total de mujeres ($M$): $40\% \text{ de } 1000 = 0,40 \cdot 1000 = 400$. - Total de varones ($V$): $1000 - 400 = 600$. 💡 **Tip:** Identificar claramente los totales y las categorías es fundamental antes de realizar cualquier cálculo de probabilidad.

Desglosamos los datos de cada sección para encontrar los valores que faltan: 1. **Baloncesto ($B$):** - Total: $400$ socios. - Mujeres ($M \cap B$): $120$. - Varones ($V \cap B$): $400 - 120 = 280$. 2. **Natación ($N$):** - Total: $350$ socios. - Mujeres ($M \cap N$): $180$. - Varones ($V \cap N$): $350 - 180 = 170$. 3. **Tenis ($T$):** - Total: $1000 - (400 + 350) = 1000 - 750 = 250$ socios. Ahora, calculamos cuántos varones hay en tenis: - Sabemos que hay $600$ varones en total. - Varones en tenis ($V \cap T$): $\text{Total Varones} - (V \cap B) - (V \cap N)$ $$V \cap T = 600 - (280 + 170) = 600 - 450 = 150.$$ 💡 **Tip:** La suma de los socios de todas las secciones debe coincidir con el total de 1000.

Para visualizar mejor los datos, elaboramos una tabla de contingencia: $$\begin{array}{c|ccc|c} & \text{Baloncesto (B)} & \text{Natación (N)} & \text{Tenis (T)} & \text{Total} \\\hline \text{Mujeres (M)} & 120 & 180 & 100^* & 400 \\ \text{Varones (V)} & 280 & 170 & \mathbf{150} & 600 \\\hline \text{Total} & 400 & 350 & 250 & 1000 \end{array}$$ *Nota: El valor de mujeres en tenis (100) se obtiene por diferencia ($400 - 120 - 180 = 100$) o restando los varones del total de tenis ($250 - 150 = 100$).*

Nos piden la probabilidad de que el socio sea **varón y de la sección de tenis**, es decir, $P(V \cap T)$. Aplicamos la regla de Laplace: $$P(V \cap T) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{\text{Número de varones en tenis}}{\text{Total de socios}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(V \cap T) = \frac{150}{1000} = 0,15$$ 💡 **Tip:** La intersección "$V$ y $T$" se refiere a cumplir ambas condiciones simultáneamente. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(V \cap T) = 0,15}$$