Área entre curva exponencial y parabólica

**(a) Calcule los puntos en los que las dos curvas $y = e^x$, $y = -x^2$ cortan a la recta $x = 0$ y a la recta $x = 1$. (0,5 puntos)** Para hallar los puntos de corte de una curva con una recta vertical de tipo $x=k$, simplemente debemos sustituir el valor de $x$ en la ecuación de la función para obtener su ordenada $y$. 1. **Cortes con la recta $x = 0$:** - Para $y = e^x$: $y = e^0 = 1$. El punto es **$P_1(0, 1)$**. - Para $y = -x^2$: $y = -0^2 = 0$. El punto es **$P_2(0, 0)$**. 2. **Cortes con la recta $x = 1$:** - Para $y = e^x$: $y = e^1 = e$. El punto es **$P_3(1, e)$**. - Para $y = -x^2$: $y = -1^2 = -1$. El punto es **$P_4(1, -1)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que cualquier número elevado a cero es la unidad ($e^0 = 1$) y que el signo negativo en $-x^2$ está fuera de la potencia, por lo que el resultado siempre será menor o igual a cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_1(0, 1), \, P_2(0, 0), \, P_3(1, e), \, P_4(1, -1)}$$

**(b) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas $y = e^x$, $y = -x^2$, y por las rectas $x = 0, x = 1$. (1,5 puntos)** El área de la región limitada por dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a, b]$ viene dada por la integral del valor absoluto de su diferencia. Primero, determinamos qué función queda por encima de la otra en el intervalo $[0, 1]$: - Sabemos que $e^x > 0$ para cualquier valor de $x$. - Sabemos que $-x^2 \le 0$ para cualquier valor de $x$. Por tanto, en el intervalo $[0, 1]$, se cumple que $e^x > -x^2$. La función superior es $f(x) = e^x$ y la inferior es $g(x) = -x^2$. Planteamos la integral: $$A = \int_{0}^{1} [e^x - (-x^2)] \, dx = \int_{0}^{1} (e^x + x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre se calcula como la integral de la función superior menos la función inferior para asegurar un resultado positivo.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (e^x + x^2) \, dx = e^x + \frac{x^3}{3}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración $x=0$ y $x=1$: $$A = \left[ e^x + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$ $$A = \left( e^1 + \frac{1^3}{3} \right) - \left( e^0 + \frac{0^3}{3} \right)$$ $$A = \left( e + \frac{1}{3} \right) - (1 + 0)$$ $$A = e + \frac{1}{3} - 1 = e - \frac{2}{3}$$ Para dar un valor aproximado, usamos $e \approx 2,718$: $$A \approx 2,718 - 0,667 = 2,051 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Al aplicar Barrow, ten mucho cuidado con el límite inferior, especialmente con la función exponencial, ya que $e^0$ no es cero, sino $1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = e - \frac{2}{3} \approx 2,051 \text{ u}^2}$$