Cálculo de límite mediante la regla de l'Hôpital

**3.- Calcule, aplicando la regla de l'Hôpital, el límite $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(2x) + (1 - x)^2 - 1}{\ln(\cos x)}$$ (2 puntos)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ en la expresión para comprobar si existe una indeterminación: - Numerador: $\text{sen}(2\cdot 0) + (1 - 0)^2 - 1 = \text{sen}(0) + 1^2 - 1 = 0 + 1 - 1 = 0$. - Denominador: $\ln(\cos 0) = \ln(1) = 0$. Obtenemos la indeterminación **$0/0$**, por lo que podemos aplicar la regla de l'Hôpital. 💡 **Tip:** La regla de l'Hôpital establece que si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces el límite es igual a $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que este último exista.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: 1. **Derivada del numerador:** $$\frac{d}{dx}[\text{sen}(2x) + (1-x)^2 - 1] = 2\cos(2x) + 2(1-x)(-1) = 2\cos(2x) - 2 + 2x$$ 2. **Derivada del denominador:** $$\frac{d}{dx}[\ln(\cos x)] = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\text{sen } x) = -\frac{\text{sen } x}{\cos x} = -\tan x$$ Aplicamos la regla: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(2x) + (1 - x)^2 - 1}{\ln(\cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x) - 2 + 2x}{-\tan x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de la cadena para derivar funciones compuestas: $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Evaluamos el nuevo límite sustituyendo $x = 0$: - Numerador: $2\cos(0) - 2 + 2(0) = 2(1) - 2 + 0 = 0$. - Denominador: $-\tan(0) = 0$. Persiste la indeterminación **$0/0$**, por lo que aplicamos la regla de l'Hôpital por segunda vez.

Derivamos de nuevo el numerador y el denominador: 1. **Segunda derivada del numerador:** $$\frac{d}{dx}[2\cos(2x) - 2 + 2x] = 2(-\text{sen}(2x) \cdot 2) + 2 = -4\text{sen}(2x) + 2$$ 2. **Segunda derivada del denominador:** $$\frac{d}{dx}[-\tan x] = -(1 + \tan^2 x) = -\frac{1}{\cos^2 x}$$ Planteamos el límite resultante: $$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x) - 2 + 2x}{-\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4\text{sen}(2x) + 2}{-\frac{1}{\cos^2 x}}$$

Sustituimos $x = 0$ en la última expresión obtenida: $$\lim_{x \to 0} \frac{-4\text{sen}(2\cdot 0) + 2}{-\frac{1}{\cos^2(0)}} = \frac{-4(0) + 2}{-\frac{1}{1^2}} = \frac{2}{-1} = -2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(2x) + (1 - x)^2 - 1}{\ln(\cos x)} = -2}$$