Posición relativa y distancia entre rectas en el espacio

**(a) Halle el valor de $a$ para que $r$ y $s$ sean paralelas. (1 punto)** Para estudiar la posición relativa, primero extraemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$, que viene dada como intersección de dos planos. Podemos pasar la recta a paramétricas haciendo, por ejemplo, $x = 2\lambda$: De la primera ecuación: $3(2\lambda) + 2y = 0 \implies 2y = -6\lambda \implies y = -3\lambda$. De la segunda ecuación: $2\lambda - 2z = -8 \implies 2z = 2\lambda + 8 \implies z = \lambda + 4$. Las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$r : \begin{cases} x = 0 + 2\lambda \\ y = 0 - 3\lambda \\ z = 4 + \lambda \end{cases}$$ De aquí obtenemos: - Vector director: $\vec{v}_r = (2, -3, 1)$ - Punto de la recta: $P_r = (0, 0, 4)$ 💡 **Tip:** Si no quieres pasar a paramétricas, puedes obtener el vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$.

La recta $s$ está en forma continua: $s : \frac{x + 1}{-2} = \frac{y - 3}{a} = \frac{z - 1}{-1}$. Directamente identificamos: - Vector director: $\vec{v}_s = (-2, a, -1)$ - Punto de la recta: $P_s = (-1, 3, 1)$

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales, es decir, $\vec{v}_r = k \cdot \vec{v}_s$: $$\frac{2}{-2} = \frac{-3}{a} = \frac{1}{-1}$$ De la igualdad $\frac{2}{-2} = \frac{1}{-1}$ vemos que la constante de proporcionalidad es $-1$. Por tanto: $$-1 = \frac{-3}{a} \implies -a = -3 \implies a = 3$$ Para confirmar que son paralelas y no coincidentes, comprobamos si el punto $P_r(0,0,4)$ pertenece a $s$ sustituyendo en sus ecuaciones: $$\frac{0 + 1}{-2} \neq \frac{0 - 3}{3} \implies -\frac{1}{2} \neq -1$$ Como no se cumple, las rectas son **paralelas y distintas**. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{a = 3}$$

**(b) Para el valor de $a$ obtenido en el anterior apartado, calcule la distancia entre las rectas $r$ y $s$. (1,5 puntos)** Para $a = 3$, las rectas son paralelas. La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto de una de ellas a la otra recta: $$d(r, s) = d(P_r, s) = \frac{|\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_s|}{|\vec{v}_s|}$$ Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-1 - 0, 3 - 0, 1 - 4) = (-1, 3, -3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para la distancia punto-recta, el numerador es el área del paralelogramo formado por el vector director de la recta y el vector que une el punto con un punto de la recta, y el denominador es la base (longitud del vector director).

Calculamos el producto vectorial $\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_s$ con $\vec{v}_s = (-2, 3, -1)$: $$\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 3 & -3 \\ -2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$= [ (3)(-1)\vec{i} + (-3)(-2)\vec{j} + (-1)(3)\vec{k} ] - [ (3)(-2)\vec{k} + (-3)(3)\vec{i} + (-1)(-1)\vec{j} ]$$ $$= (-3\vec{i} + 6\vec{j} - 3\vec{k}) - (-6\vec{k} - 9\vec{i} + 1\vec{j})$$ $$= (-3 + 9)\vec{i} + (6 - 1)\vec{j} + (-3 + 6)\vec{k} = 6\vec{i} + 5\vec{j} + 3\vec{k}$$ El vector resultante es $(6, 5, 3)$.

Calculamos los módulos necesarios: 1. Módulo del producto vectorial: $$|\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_s| = \sqrt{6^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 25 + 9} = \sqrt{70}$$ 2. Módulo del vector director $\vec{v}_s$: $$|\vec{v}_s| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$$ Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{70}{14}} = \sqrt{5}$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{d(r, s) = \sqrt{5} \text{ unidades}}$$