Producto de matrices, rango y sistemas de ecuaciones

**(a) Obtenga la matriz $A \cdot B$ y calcule su rango. (1,25 puntos)** Primero, comprobamos las dimensiones de las matrices para asegurar que el producto es posible. La matriz $A$ es de dimensión $2 \times 1$ y la matriz $B$ es de dimensión $1 \times 2$. El resultado será una matriz de dimensión $2 \times 2$. Realizamos el producto fila por columna: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-2) \\ -1 \cdot 1 & -1 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ de la matriz resultante se obtiene multiplicando la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda. ✅ **Resultado del producto:** $$\boxed{A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}}$$

Para calcular el rango de la matriz $M = A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, calculamos su determinante: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (-2 \cdot -1) = 2 - 2 = 0$$ Como el determinante de la matriz $2 \times 2$ es cero, el rango no puede ser $2$. Al existir al menos un elemento distinto de cero (por ejemplo, el $1$), el rango es exactamente $1$. También podemos observar que la segunda fila es proporcional a la primera ($F_2 = -F_1$), lo que confirma que solo hay una fila linealmente independiente. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Si el determinante de una matriz cuadrada es cero, su rango es menor que su orden. ✅ **Resultado del rango:** $$\boxed{\text{rango}(A \cdot B) = 1}$$

**(b) Clasifique y resuelva el sistema de ecuaciones $A \cdot B \cdot X = O$. (1,25 puntos)** Sustituimos las matrices en la ecuación matricial: $$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo: $$\begin{cases} x - 2y = 0 \\ -x + 2y = 0 \end{cases}$$ Para clasificarlo, aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - La matriz de coeficientes es $M = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, cuyo rango ya sabemos que es $r = 1$. - La matriz ampliada $M^*$ también tiene rango $r' = 1$ por ser un sistema homogéneo (la columna de términos independientes es de ceros). - El número de incógnitas es $n = 2$ ($x$ e $y$). Como $r = r' < n$ ($1 < 2$), el sistema es **Compatible Indeterminado**. 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible (tiene al menos la solución trivial $x=0, y=0$). Si el rango es menor que el número de incógnitas, tiene infinitas soluciones. ✅ **Clasificación:** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)}}$$

Dado que las dos ecuaciones son proporcionales (la segunda es la primera multiplicada por $-1$), nos quedamos únicamente con una de ellas: $$x - 2y = 0 \implies x = 2y$$ Para expresar las infinitas soluciones, utilizamos un parámetro real $\lambda$. Si hacemos $y = \lambda$: $$x = 2\lambda$$ Por tanto, la solución general del sistema es: $$\begin{cases} x = 2\lambda \\ y = \lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** Al resolver un sistema indeterminado, el número de parámetros necesarios es igual a $n - r$ (incógnitas menos rango). En este caso, $2 - 1 = 1$ parámetro. ✅ **Solución final:** $$\boxed{(x, y) = (2\lambda, \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$