Primitiva mediante cambio de variable

**4.- Utilizando el cambio de variable $1 + x^2 = t^2$, calcule una primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}}$ que cumpla $F(0) = 0$.** Primero, definimos el cambio de variable sugerido y calculamos su diferencial. Partimos de: $$1 + x^2 = t^2$$ Derivamos ambos miembros respecto a sus respectivas variables: $$2x \, dx = 2t \, dt \implies x \, dx = t \, dt$$ Además, de la expresión del cambio, despejamos $x^2$ ya que lo necesitaremos para sustituir el resto del numerador: $$x^2 = t^2 - 1$$ 💡 **Tip:** En integrales con raíces de este tipo, el cambio de variable busca eliminar el radical para obtener una expresión polinómica o racional más sencilla.

Reescribimos la integral original para facilitar la sustitución de los términos encontrados: $$\int \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \int \frac{x^2 \cdot x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx$$ Ahora, sustituimos cada término: - $x^2 = t^2 - 1$ - $x \, dx = t \, dt$ - $\sqrt{1 + x^2} = \sqrt{t^2} = t$ La integral queda: $$\int \frac{(t^2 - 1) \cdot t}{t} \, dt = \int (t^2 - 1) \, dt$$ $$\boxed{\int (t^2 - 1) \, dt}$$

Resolvemos la integral en la variable $t$: $$\int (t^2 - 1) \, dt = \frac{t^3}{3} - t + C$$ Deshacemos el cambio de variable recordando que $t = \sqrt{1 + x^2}$: $$F(x) = \frac{(\sqrt{1 + x^2})^3}{3} - \sqrt{1 + x^2} + C$$ Podemos simplificar la expresión factorizando $\sqrt{1 + x^2}$: $$F(x) = \sqrt{1 + x^2} \left( \frac{1 + x^2}{3} - 1 \right) + C$$ $$F(x) = \sqrt{1 + x^2} \left( \frac{1 + x^2 - 3}{3} \right) + C = \frac{(x^2 - 2)\sqrt{1 + x^2}}{3} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre sumar la constante de integración $C$ en las integrales indefinidas hasta aplicar la condición inicial.

Utilizamos la condición inicial $F(0) = 0$ para hallar el valor exacto de la constante $C$: $$F(0) = \frac{(0^2 - 2)\sqrt{1 + 0^2}}{3} + C = 0$$ $$\frac{-2 \cdot 1}{3} + C = 0 \implies -\frac{2}{3} + C = 0 \implies C = \frac{2}{3}$$ Sustituimos el valor de $C$ en la función $F(x)$: $$F(x) = \frac{(x^2 - 2)\sqrt{1 + x^2}}{3} + \frac{2}{3}$$ También se puede expresar como: $$F(x) = \frac{(x^2 - 2)\sqrt{1 + x^2} + 2}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = \frac{(x^2 - 2)\sqrt{1 + x^2} + 2}{3}}$$