Estudio y representación de una función racional

**(a) Estudie el dominio de definición, los extremos relativos y las asíntotas de la función $f(x) = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x}$ (1,5 puntos)** El dominio de una función racional es todo $\mathbb{R}$ excepto los valores que anulan el denominador. En este caso: $$x = 0$$ Por lo tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ 💡 **Tip:** Siempre debemos empezar analizando los puntos donde la función no existe, ya que serán candidatos a asíntotas verticales y marcarán los intervalos de estudio.

Para encontrar las asíntotas verticales, estudiamos el comportamiento de la función en los puntos donde no está definida ($x=0$): $$\lim_{x \to 0} \left( x + \frac{1}{x} \right) = 0 + \frac{1}{0} = \infty$$ Estudiamos los límites laterales para conocer el comportamiento de la gráfica: $$\lim_{x \to 0^-} \left( x + \frac{1}{x} \right) = -\infty$$ $$\lim_{x \to 0^+} \left( x + \frac{1}{x} \right) = +\infty$$ ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 0 \text{ es una asíntota vertical}}$$

**Asíntotas horizontales:** Calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \left( x + \frac{1}{x} \right) = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. **Asíntotas oblicuas ($y = mx + n$):** Dado que el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, existe una asíntota oblicua. Podemos obtenerla por la propia expresión de la función $f(x) = x + \frac{1}{x}$, donde el término lineal es la asíntota y el resto tiende a cero, o mediante límites: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1}{x^2} = 1$$ $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( x + \frac{1}{x} - x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$$ ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = x \text{ es una asíntota oblicua}}$$

Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: $$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$$ $$f'(x) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$$ Para determinar si son máximos o mínimos, estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por las raíces y el punto de discontinuidad ($x=0$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \n.d. & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \n.d. & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de los puntos: - En $x = -1$: $f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2 \implies$ **Máximo relativo en $(-1, -2)$** - En $x = 1$: $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2 \implies$ **Mínimo relativo en $(1, 2)$** 💡 **Tip:** Recuerda que aunque $f'(x)$ cambie de signo en $x=0$, ese punto no puede ser un extremo porque no pertenece al dominio.

**(b) Teniendo en cuenta los datos obtenidos en el apartado anterior, represente, aproximadamente, la gráfica de la función $f(x)$. (0,5 puntos)** Para representar la gráfica unimos toda la información recabada: 1. Dibujamos la asíntota vertical $x = 0$ (eje Y). 2. Dibujamos la asíntota oblicua $y = x$. 3. Situamos los extremos: el máximo en $(-1, -2)$ y el mínimo en $(1, 2)$. 4. Trazamos las ramas siguiendo la monotonía y acercándonos a las asíntotas. Como detalle adicional, observamos que $f(-x) = -f(x)$, por lo que la función es **impar** y simétrica respecto al origen de coordenadas.