Producto vectorial, ángulo e independencia lineal

**(a) Calcule el producto vectorial $\vec{e} \times \vec{u}$. (0,75 puntos)** El producto vectorial de dos vectores se obtiene mediante el determinante de una matriz cuyas filas son los vectores unitarios $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ y las componentes de los vectores dados. $$\vec{e} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus para resolver el determinante: $$\vec{e} \times \vec{u} = [(\vec{i} \cdot 1 \cdot 2) + (0 \cdot (-2) \cdot \vec{k}) + (3 \cdot 0 \cdot \vec{j})] - [(3 \cdot 1 \cdot \vec{k}) + (0 \cdot 0 \cdot \vec{i}) + (-2 \cdot 0 \cdot \vec{j})]$$ $$\vec{e} \times \vec{u} = [2\vec{i} + 0 + 0] - [3\vec{k} + 0 + 0]$$ $$\vec{e} \times \vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{k}$$ Expresado en componentes rectangulares: $$\vec{e} \times \vec{u} = (2, 0, -3)$$ 💡 **Tip:** El resultado de un producto vectorial es siempre un vector perpendicular a los dos vectores originales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{e} \times \vec{u} = (2, 0, -3)}$$

**(b) Calcule el ángulo $\phi$ que forman $\vec{u}$ y $\vec{v}$. (0,75 puntos)** Para hallar el ángulo entre dos vectores, utilizamos la definición de producto escalar: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\phi) \implies \cos(\phi) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$ 1. Calculamos el producto escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (3, -2, 2) \cdot (0, 1, 1) = (3 \cdot 0) + (-2 \cdot 1) + (2 \cdot 1) = 0 - 2 + 2 = 0$$ 2. Calculamos los módulos de cada vector: $$|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}$$ $$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$\cos(\phi) = \frac{0}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{2}} = 0$$ Si el coseno es $0$, el ángulo es: $$\phi = \arccos(0) = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ rad}$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, los vectores son perpendiculares (ortogonales). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\phi = 90^\circ}$$

**(c) Demuestre que la familia de vectores $\{ \vec{e}, \vec{u}, \vec{v} \}$ es linealmente independiente. (1 punto)** Un conjunto de tres vectores en $\mathbb{R}^3$ es linealmente independiente si y solo si el determinante de la matriz formada por ellos es distinto de cero. Planteamos el determinante de la matriz $A$ cuyas filas (o columnas) son los vectores: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Como la primera fila tiene dos ceros, desarrollamos por los elementos de dicha fila: $$\det(A) = 0 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = -1 \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = -1 \cdot (3) = -3$$ Como $\det(A) = -3 \neq 0$, el rango de la matriz es 3. 💡 **Tip:** Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente independientes si no son coplanarios, lo que equivale a que su determinante sea distinto de cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Como } \det(A) \neq 0, \text{ los vectores son linealmente independientes.}}$$