Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

**(a) Estudie cómo es el sistema de ecuaciones:** Para estudiar el sistema, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociada al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -5 \\ 3 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} ; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 0 & -5 & 3 \\ 3 & -3 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ El estudio del sistema consiste en comparar los rangos de estas matrices mediante el **Teorema de Rouché-Frobenius**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo (determinante de una submatriz cuadrada).

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -5 \\ 3 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = [3(-3)(-1) + 0 \cdot 2 \cdot 2 + (-5)(3)(-1)] - [(-5)(-3)(2) + 0 \cdot 3(-1) + 3(2)(-1)]$$ $$|A| = [9 + 0 + 15] - [30 + 0 - 6] = 24 - 24 = 0$$ Como $|A| = 0$, el rango de $A$ es menor que $3$ ($\text{rg}(A) \lt 3$).

Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = -9 - 0 = -9 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rg}(A) = 2}$$ Ahora calculamos el rango de la matriz ampliada $A^*$. Para ello, tomamos el menor anterior y lo orlamos con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 3 & -3 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = [3(-3)(1) + 0 \cdot 0 \cdot 2 + 3(3)(-1)] - [3(-3)(2) + 0 \cdot 3(1) + 3(0)(-1)]$$ $$\begin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 3 & -3 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = [-9 + 0 - 9] - [-18 + 0 + 0] = -18 + 18 = 0$$ Como todos los posibles menores de orden 3 son nulos (el primero era $|A|$ y el segundo también es 0), el rango de la ampliada es: $$\mathbf{\text{rg}(A^*) = 2}$$

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** comparando los rangos obtenidos y el número de incógnitas ($n=3$): - $\text{rg}(A) = 2$ - $\text{rg}(A^*) = 2$ - Número de incógnitas = $3$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) \lt n$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\text{El sistema es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)}}$$

**(b) Resuelva el anterior sistema de ecuaciones.** Al ser un sistema compatible indeterminado con $\text{rg}(A)=2$, podemos prescindir de una ecuación (la tercera, ya que el menor de orden 2 se encontraba en las dos primeras) y convertir una incógnita en parámetro. Usamos las ecuaciones: $$\begin{cases} 3x - 5z = 3 \\ 3x - 3y + 2z = 0 \end{cases}$$ Sea $\mathbf{z = \lambda}$. Despejamos $x$ de la primera ecuación: $$3x = 3 + 5\lambda \implies x = 1 + \frac{5}{3}\lambda$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación para hallar $y$: $$3\left(1 + \frac{5}{3}\lambda\right) - 3y + 2\lambda = 0 \implies 3 + 5\lambda - 3y + 2\lambda = 0$$ $$3y = 3 + 7\lambda \implies y = 1 + \frac{7}{3}\lambda$$ 💡 **Tip:** Para evitar fracciones en la solución final, podemos tomar $z = 3\lambda$.

Si tomamos $z = 3\lambda$ para simplificar las expresiones: $$x = 1 + \frac{5}{3}(3\lambda) = 1 + 5\lambda$$ $$y = 1 + \frac{7}{3}(3\lambda) = 1 + 7\lambda$$ Las infinitas soluciones vienen dadas por: ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 + 5\lambda \\ y = 1 + 7\lambda \\ z = 3\lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$