Probabilidad Condicionada y Teorema de Bayes

**5.- El 40 % de la población activa de una ciudad son mujeres. Se sabe que el 20 % de las mujeres y el 12 % de los varones está en el paro. Elegida al azar una persona entre la población activa que no está en paro, calcule la probabilidad de que dicha persona sea mujer. (1 punto)** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $M$: La persona elegida es mujer. - $V$: La persona elegida es varón. - $P$: La persona elegida está en el paro. - $\bar{P}$: La persona elegida no está en el paro. A partir del enunciado, extraemos las probabilidades directas: - $P(M) = 40\% = 0,40$ - $P(V) = 1 - P(M) = 0,60$ - $P(P|M) = 20\% = 0,20$ (Probabilidad de estar en paro sabiendo que es mujer) - $P(P|V) = 12\% = 0,12$ (Probabilidad de estar en paro sabiendo que es varón) Por complementarios, obtenemos las probabilidades de no estar en paro: - $P(\bar{P}|M) = 1 - 0,20 = 0,80$ - $P(\bar{P}|V) = 1 - 0,12 = 0,88$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1.

Para visualizar mejor la situación y facilitar el cálculo de las probabilidades de las intersecciones, representamos los datos en un diagrama de árbol:

Queremos calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar **no esté en el paro**, $P(\bar{P})$. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(\bar{P}) = P(M) \cdot P(\bar{P}|M) + P(V) \cdot P(\bar{P}|V)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(\bar{P}) = 0,40 \cdot 0,80 + 0,60 \cdot 0,88$$ $$P(\bar{P}) = 0,32 + 0,528 = 0,848$$ 💡 **Tip:** Este valor representa el porcentaje total de la población activa que tiene trabajo (84,8%). $$\boxed{P(\bar{P}) = 0,848}$$

El problema nos pide la probabilidad de que la persona sea mujer dado que sabemos que no está en el paro. Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|\bar{P}) = \frac{P(M \cap \bar{P})}{P(\bar{P})} = \frac{P(M) \cdot P(\bar{P}|M)}{P(\bar{P})}$$ Utilizamos los cálculos realizados en los pasos previos: $$P(M|\bar{P}) = \frac{0,32}{0,848}$$ Realizamos la división: $$P(M|\bar{P}) \approx 0,377358...$$ Redondeando a cuatro decimales, obtenemos el resultado final. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(M|\bar{P}) \approx 0,3774}$$