Representación de una parábola y cálculo de área

**(a) Represente, aproximadamente, la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 1$ definida en el intervalo cerrado $[0, 2]$. (0,5 puntos)** La función $f(x) = x^2 - 1$ es una parábola con las siguientes características: - **Vértice**: Al ser de la forma $ax^2 + c$, el vértice está en el eje $OY$, en el punto $(0, -1)$. - **Cortes con el eje $OX$**: Resolvemos $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. En el intervalo $[0, 2]$, solo nos interesa el punto $(1, 0)$. - **Extremos del intervalo**: - Para $x = 0$, $f(0) = 0^2 - 1 = -1$. - Para $x = 2$, $f(2) = 2^2 - 1 = 3$. La gráfica es un arco de parábola que sube desde $(0, -1)$ hasta $(2, 3)$, cortando al eje de abscisas en $x = 1$.

**(b) Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 1$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0, x = 2$. (1,5 puntos)** Para calcular el área, debemos tener en cuenta si la función cambia de signo en el intervalo $[0, 2]$. Como vimos en el apartado anterior, la función corta al eje $OX$ en $x = 1$. Analizamos el signo de $f(x)$: - En el intervalo $(0, 1)$, $f(x) \lt 0$ (la curva está por debajo del eje). - En el intervalo $(1, 2)$, $f(x) \gt 0$ (la curva está por encima del eje). El área total será la suma de las áreas de estas dos regiones en valor absoluto: $$A = \int_{0}^{2} |f(x)| \, dx = \left| \int_{0}^{1} (x^2 - 1) \, dx \right| + \left| \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx \right|$$ 💡 **Tip:** El área siempre es una magnitud positiva. Por eso, si la función es negativa, integramos su valor absoluto o cambiamos el signo de la integral.

Calculamos la integral definida en el primer intervalo aplicando la **Regla de Barrow**: $$\int_{0}^{1} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en los límites: $$F(1) = \frac{1^3}{3} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$$ $$F(0) = \frac{0^3}{3} - 0 = 0$$ $$\int_{0}^{1} (x^2 - 1) \, dx = -\frac{2}{3} - 0 = -\frac{2}{3}$$ El área de esta primera parte es: $$A_1 = \left| -\frac{2}{3} \right| = \frac{2}{3} \text{ u}^2$$

Calculamos la integral definida en el segundo intervalo: $$\int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$F(2) = \frac{2^3}{3} - 2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$$ $$F(1) = \frac{1^3}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$$ $$\int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3}$$ El área de esta segunda parte es: $$A_2 = \left| \frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3} \text{ u}^2$$

Sumamos las dos áreas parciales obtenidas para hallar el área total: $$A = A_1 + A_2 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 2 \text{ u}^2}$$