Estudio de dominio, signo y asíntotas de una función racional

**Estudie el dominio, el signo, las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x}$** El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Para hallar estos valores, resolvemos la ecuación: $$x^2 + x = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x(x + 1) = 0$$ De aquí obtenemos dos soluciones: 1. $x = 0$ 2. $x + 1 = 0 \implies x = -1$ Por tanto, el dominio son todos los reales excepto $-1$ y $0$. 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones de tipo $\frac{P(x)}{Q(x)}$, el dominio es $\mathbb{R} \setminus \{x \in \mathbb{R} : Q(x) = 0\}$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\}}$$

Para estudiar el signo de $f(x)$, debemos considerar los puntos donde la función puede cambiar de signo: las raíces del numerador y las raíces del denominador (puntos de discontinuidad). - Raíces del numerador: $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$. - Raíces del denominador: $x = -1$ y $x = 0$. Estos puntos dividen la recta real en los siguientes intervalos: $(-\infty, -1)$, $(-1, -1/2)$, $(-1/2, 0)$ y $(0, +\infty)$. Analizamos el signo en cada uno: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 0) & 0 & (0, +\infty) \\\hline 2x+1 & - & - & - & 0 & + & + & + \\ x^2+x & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\\hline f(x) & - & \nexists & + & 0 & - & \nexists & + \end{array}$$ ✅ **Resultado (Signo):** - **$f(x) \lt 0$** en $(-\infty, -1) \cup (-1/2, 0)$ - **$f(x) \gt 0$** en $(-1, -1/2) \cup (0, +\infty)$ - **$f(x) = 0$** en $x = -1/2$

Las posibles asíntotas verticales se encuentran en los puntos que no pertenecen al dominio: $x = -1$ y $x = 0$. **Para $x = -1$:** $$\lim_{x \to -1} \frac{2x + 1}{x^2 + x} = \frac{2(-1) + 1}{(-1)^2 + (-1)} = \frac{-1}{0} = \infty$$ Estudiamos los límites laterales: - $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{-1}{0^+} = -\infty$ - $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \frac{-1}{0^-} = +\infty$ Por tanto, **$x = -1$ es una asíntota vertical**. **Para $x = 0$:** $$\lim_{x \to 0} \frac{2x + 1}{x^2 + x} = \frac{2(0) + 1}{0^2 + 0} = \frac{1}{0} = \infty$$ Estudiamos los límites laterales: - $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{1}{0^-} = -\infty$ - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty$ Por tanto, **$x = 0$ es una asíntota vertical**. 💡 **Tip:** Existe una asíntota vertical en $x=a$ si al menos uno de los límites laterales tiende a $\pm\infty$. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{x = -1, \quad x = 0}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 1}{x^2 + x}$$ Como el grado del denominador (2) es mayor que el grado del numerador (1), el límite es $0$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 1}{x^2 + x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{0+0}{1+0} = 0$$ Esto significa que la recta **$y = 0$** (el eje $X$) es una asíntota horizontal tanto en $+\infty$ como en $-\infty$. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si $\text{grado}(P) \lt \text{grado}(Q)$, la asíntota horizontal es siempre $y = 0$. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{y = 0}$$