Geometría en el espacio: Rectas y distancias

**(a) Calcule ecuaciones paramétricas de $r$. (1 punto)** Para hallar las ecuaciones paramétricas de una recta, necesitamos un punto por el que pase y un vector director. La recta $r$ pasa por los puntos $A(1, 2, 1)$ y $B(-2, -1, -3)$. Obtenemos el vector director $\vec{v}_r$ calculando el vector que une ambos puntos: $$\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (-2 - 1, -1 - 2, -3 - 1) = (-3, -3, -4)$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar cualquier vector proporcional. En este caso, usaremos $\vec{d}_r = (3, 3, 4)$, que tiene la misma dirección. 💡 **Tip:** El vector director de una recta que pasa por dos puntos $A$ y $B$ es siempre $\vec{v} = B - A$ o $\vec{v} = A - B$.

Utilizando el punto $A(1, 2, 1)$ y el vector director $\vec{d}_r = (3, 3, 4)$, las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ son: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = 2 + 3\lambda \\ z = 1 + 4\lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = 2 + 3\lambda \\ z = 1 + 4\lambda \end{cases}}$$

**(b) Obtenga un punto $P$ de la recta $r$ tal que la distancia de $C$ a $P$ sea igual a la distancia de $D$ a $P$. (1,5 puntos)** Cualquier punto $P$ que pertenezca a la recta $r$ debe cumplir sus ecuaciones paramétricas. Por tanto, las coordenadas de $P$ en función del parámetro $\lambda$ son: $$P(1 + 3\lambda, 2 + 3\lambda, 1 + 4\lambda)$$ Queremos encontrar el valor de $\lambda$ tal que $d(C, P) = d(D, P)$. Para simplificar los cálculos, igualaremos los cuadrados de las distancias: $d(C, P)^2 = d(D, P)^2$. Los puntos dados son $C(0, 1, -1)$ y $D(0, 3, -1)$. 💡 **Tip:** Trabajar con el cuadrado de la distancia $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$ evita el uso de raíces cuadradas en las ecuaciones.

Calculamos los vectores $\vec{CP}$ y $\vec{DP}$: $$\vec{CP} = (1 + 3\lambda - 0, 2 + 3\lambda - 1, 1 + 4\lambda - (-1)) = (1 + 3\lambda, 1 + 3\lambda, 2 + 4\lambda)$$ $$\vec{DP} = (1 + 3\lambda - 0, 2 + 3\lambda - 3, 1 + 4\lambda - (-1)) = (1 + 3\lambda, -1 + 3\lambda, 2 + 4\lambda)$$ Igualamos los módulos al cuadrado: $$(1 + 3\lambda)^2 + (1 + 3\lambda)^2 + (2 + 4\lambda)^2 = (1 + 3\lambda)^2 + (-1 + 3\lambda)^2 + (2 + 4\lambda)^2$$ Observamos que los términos $(1 + 3\lambda)^2$ y $(2 + 4\lambda)^2$ aparecen en ambos lados de la igualdad, por lo que podemos simplificarlos: $$(1 + 3\lambda)^2 = (-1 + 3\lambda)^2$$ Desarrollamos las identidades notables: $$1 + 6\lambda + 9\lambda^2 = 1 - 6\lambda + 9\lambda^2$$ $$6\lambda = -6\lambda \implies 12\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$

Una vez obtenido el valor del parámetro $\lambda = 0$, sustituimos en la expresión del punto genérico $P$: $$P(1 + 3(0), 2 + 3(0), 1 + 4(0)) = (1, 2, 1)$$ Como era de esperar, el punto $P$ coincide con el punto $A$ dado en el enunciado. Comprobación rápida: $d(C, A) = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ $d(D, A) = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ Efectivamente, las distancias son iguales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = (1, 2, 1)}$$