Discusión de un sistema con tres parámetros

**(a) Para que el sistema sea compatible determinado. (0,75 puntos)** Para estudiar el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A'$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ a & b & c \end{pmatrix}; \quad A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ a & b & c & 1 \end{array}\right)$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es compatible determinado (SCD) si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A') = n$ (siendo $n=3$ el número de incógnitas). Esto ocurre cuando el determinante de $A$ es distinto de cero. Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ a & b & c \end{vmatrix} = [1 \cdot 0 \cdot c + 1 \cdot (-1) \cdot a + 0 \cdot 1 \cdot b] - [a \cdot 0 \cdot 0 + b \cdot (-1) \cdot 1 + c \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = [0 - a + 0] - [0 - b + c] = -a + b - c = b - a - c$$ Para que sea **SCD**, necesitamos: $$b - a - c \neq 0 \implies b \neq a + c$$ 💡 **Tip:** Un sistema es SCD si su matriz es cuadrada y su determinante no es nulo. Basta con elegir valores que no cumplan la igualdad $b = a + c$. Podemos elegir, por ejemplo: **$a = 1, b = 1, c = 1$**, ya que $1 \neq 1 + 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a=1, b=1, c=1 \text{ (o cualquier terna donde } b \neq a + c)}$$

Para los apartados (b) y (c), el sistema no debe ser SCD, por lo que el determinante de $A$ debe ser cero: $$|A| = 0 \implies b - a - c = 0 \implies b = a + c$$ Si $b = a + c$, el $\text{rango}(A) \lt 3$. Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, sabemos que el **$\text{rango}(A) = 2$** siempre que $b = a + c$. Ahora estudiamos el **$\text{rango}(A')$**. Tomamos un menor de orden 3 dentro de $A'$ combinando las dos primeras columnas y la columna de términos independientes: $$|A'_1| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix} = [1 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot a + 0 \cdot 1 \cdot b] - [a \cdot 0 \cdot 0 + b \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A'_1| = [0 + a + 0] - [0 + b + 1] = a - b - 1$$ Para que el rango de $A'$ sea 2, este determinante debe ser cero. Para que el rango de $A'$ sea 3, debe ser distinto de cero.

**(b) Para que el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)** Para que sea compatible indeterminado (SCI), debe cumplirse $\text{rango}(A) = \text{rango}(A') = 2$. Necesitamos que: 1. $\text{rango}(A) = 2 \implies b = a + c$ 2. $\text{rango}(A') = 2 \implies a - b - 1 = 0 \implies b = a - 1$ Igualando ambas expresiones para $b$: $$a + c = a - 1 \implies c = -1$$ Si sustituimos $c = -1$ en la primera condición, obtenemos $b = a - 1$. Podemos elegir, por ejemplo, **$a = 1$**. Entonces: - $b = 1 - 1 = 0$ - $c = -1$ 💡 **Tip:** En un SCI el sistema tiene infinitas soluciones porque el rango es menor que el número de incógnitas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a=1, b=0, c=-1 \text{ (o cualquier terna con } c = -1 \text{ y } b = a - 1)}$$

**(c) Para que el sistema sea incompatible. (0,75 puntos)** Para que sea incompatible (SI), debe cumplirse $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A') = 3$. Necesitamos que: 1. $\text{rango}(A) = 2 \implies b = a + c$ 2. $\text{rango}(A') = 3 \implies a - b - 1 \neq 0 \implies b \neq a - 1$ Sustituyendo $b = a + c$ en la segunda condición: $$a + c \neq a - 1 \implies c \neq -1$$ Por tanto, para que sea **incompatible**, se debe cumplir que $b = a + c$ y que $c$ sea cualquier valor distinto de $-1$. Podemos elegir, por ejemplo, **$a = 1$** y **$c = 0$**. Entonces: - $b = a + c = 1 + 0 = 1$ - Como $c = 0 \neq -1$, el rango de $A'$ será 3. 💡 **Tip:** Un sistema es incompatible cuando los rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada son diferentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a=1, b=1, c=0 \text{ (o cualquier terna con } b = a + c \text{ y } c \neq -1)}$$