Probabilidad condicionada: Errores en capítulos de un libro

**5.- En un libro con 3 capítulos, el primero consta de 100 páginas y 15 de ellas contienen errores. El segundo capítulo, de 80 páginas, tiene 8 con error, y en el tercero, de 50 páginas, el 80 % no tiene ningún error. Calcule la probabilidad de que una página elegida al azar no esté en el capítulo dos y no tenga errores. (1 punto)** En primer lugar, definimos los sucesos según los datos del enunciado: - $C_1$: La página pertenece al capítulo 1. - $C_2$: La página pertenece al capítulo 2. - $C_3$: La página pertenece al capítulo 3. - $E$: La página contiene errores. - $\bar{E}$: La página no contiene errores. Calculamos el número total de páginas: $100 + 80 + 50 = 230$ páginas. Las probabilidades de elegir una página de cada capítulo son: - $P(C_1) = \dfrac{100}{230}$ - $P(C_2) = \dfrac{80}{230}$ - $P(C_3) = \dfrac{50}{230}$ Las probabilidades condicionadas de no tener error ($\bar{E}$) en cada capítulo son: - $P(\bar{E}|C_1) = \dfrac{100-15}{100} = 0.85$ - $P(\bar{E}|C_2) = \dfrac{80-8}{80} = \dfrac{72}{80} = 0.90$ - $P(\bar{E}|C_3) = 80\% = 0.80$ Presentamos el árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** El árbol de probabilidad es fundamental para visualizar experimentos compuestos. La suma de las probabilidades que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.

Nos piden la probabilidad de que la página **no esté en el capítulo dos y no tenga errores**. Simbólicamente, esto se traduce como la probabilidad de la intersección: $$P(\bar{C_2} \cap \bar{E})$$ Como la página debe estar en el libro, si no está en el capítulo 2, debe estar obligatoriamente en el capítulo 1 o en el capítulo 3. Por tanto: $$\bar{C_2} \cap \bar{E} = (C_1 \cap \bar{E}) \cup (C_3 \cap \bar{E})$$ Dado que los capítulos son conjuntos disjuntos (una página no puede pertenecer a dos capítulos a la vez), los sucesos $(C_1 \cap \bar{E})$ y $(C_3 \cap \bar{E})$ son incompatibles. 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos $A$ y $B$ son incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada para cada rama del árbol: $$P(C_1 \cap \bar{E}) = P(C_1) \cdot P(\bar{E}|C_1) = \frac{100}{230} \cdot 0.85 = \frac{100}{230} \cdot \frac{85}{100} = \frac{85}{230}$$ $$P(C_3 \cap \bar{E}) = P(C_3) \cdot P(\bar{E}|C_3) = \frac{50}{230} \cdot 0.80 = \frac{50}{230} \cdot \frac{80}{100} = \frac{40}{230}$$ Sumamos ambas probabilidades para obtener el resultado final: $$P(\bar{C_2} \cap \bar{E}) = \frac{85}{230} + \frac{40}{230} = \frac{125}{230}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 5: $$\frac{125}{230} = \frac{25}{46} \approx 0.5435$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{C_2} \cap \bar{E}) = \frac{25}{46} \approx 0.5435}$$ 💡 **Tip:** Siempre que sea posible, deja el resultado en forma de fracción simplificada y también en número decimal para mayor claridad.