Cálculo de una primitiva con condición inicial

Para hallar una primitiva $F(x)$ de la función $f(x)$, debemos calcular la integral indefinida de dicha función: $$F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( \frac{2x}{x^2 + 1} - e^{-x} + 2x \cos(x^2) \right) dx$$ Utilizando la propiedad de linealidad de la integral, podemos descomponerla en la suma de tres integrales más sencillas: $$F(x) = \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx - \int e^{-x} \, dx + \int 2x \cos(x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una suma es la suma de las integrales: $\int (u+v) \, dx = \int u \, dx + \int v \, dx$.

Calculamos cada una de las integrales por separado identificando tipos de integrales inmediatas o casi inmediatas: 1. **Término racional:** $\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$. Observamos que el numerador es exactamente la derivada del denominador, $d(x^2+1) = 2x$. Por tanto, es una integral de tipo logarítmico: $$\int \frac{u'}{u} \, dx = \ln|u| + C \implies \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \ln(x^2 + 1)$$ *(Nota: No ponemos valor absoluto porque $x^2+1$ siempre es positivo).* 2. **Término exponencial:** $\int -e^{-x} \, dx$. Sabemos que la derivada de $e^{-x}$ es $-e^{-x}$. Por tanto: $$\int -e^{-x} \, dx = e^{-x}$$ 3. **Término trigonométrico:** $\int 2x \cos(x^2) \, dx$. Observamos que $2x$ es la derivada del argumento del coseno ($x^2$). Es una integral de tipo $\int \cos(u) \cdot u' \, dx = \sin(u) + C$: $$\int 2x \cos(x^2) \, dx = \sin(x^2)$$ 💡 **Tip:** Identificar funciones compuestas donde aparece la derivada de la función interna es clave para resolver integrales de forma directa.

Agrupamos los resultados obtenidos en el paso anterior para escribir la expresión general de la familia de primitivas: $$F(x) = \ln(x^2 + 1) + e^{-x} + \sin(x^2) + C$$ Donde $C$ es la constante de integración que debemos determinar a continuación mediante la condición inicial proporcionada. $$\boxed{F(x) = \ln(x^2 + 1) + e^{-x} + \sin(x^2) + C}$$

El enunciado nos indica que la primitiva debe cumplir la condición **$F(0) = 0$**. Sustituimos $x = 0$ en nuestra expresión y resolvemos para $C$: $$F(0) = \ln(0^2 + 1) + e^{-0} + \sin(0^2) + C = 0$$ Calculamos los valores: - $\ln(1) = 0$ - $e^0 = 1$ - $\sin(0) = 0$ Sustituyendo: $$0 + 1 + 0 + C = 0 \implies 1 + C = 0 \implies \mathbf{C = -1}$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado con el valor de $e^0$; es un error común pensar que es 0, pero cualquier número (distinto de cero) elevado a 0 es 1.

Sustituimos el valor de $C = -1$ en la expresión de $F(x)$ para obtener la primitiva específica que nos pide el ejercicio: $$F(x) = \ln(x^2 + 1) + e^{-x} + \sin(x^2) - 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = \ln(x^2 + 1) + e^{-x} + \sin(x^2) - 1}$$