Teorema del Valor Medio de Lagrange y desigualdades

**(a) Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange. (0,75 puntos)** Sea $f(x)$ una función que cumple las siguientes hipótesis: 1. $f(x)$ es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. $f(x)$ es **derivable** en el intervalo abierto $(a, b)$. Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que: $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Geométricamente, este teorema nos dice que existe un punto en el intervalo donde la pendiente de la recta tangente es igual a la pendiente de la recta secante que une los extremos del intervalo. 💡 **Tip:** Recuerda que este teorema también es conocido como el Teorema de Bonnet-Lagrange o Teorema del Valor Medio del cálculo diferencial. ✅ **Enunciado:** $$\boxed{\text{Si } f \text{ es cont. en } [a,b] \text{ y deriv. en } (a,b), \exists c \in (a,b) / f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$$

**(b) Aplicando a la función $f(x) = 1/x^2$ el anterior teorema, pruebe que cualesquiera que sean los números reales $1 \lt a \lt b$ se cumple la desigualdad $a + b \lt 2a^2b^2$. (1,25 puntos)** Consideramos la función $f(x) = \frac{1}{x^2}$ en el intervalo $[a, b]$ con $1 \lt a \lt b$. - **Continuidad:** $f(x)$ es una función racional cuyo dominio es $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Como el intervalo $[a, b]$ está contenido en $(1, +\infty)$, la función es continua en $[a, b]$. - **Derivabilidad:** La derivada es $f'(x) = -\frac{2}{x^3}$, que existe para todo $x \neq 0$. Por tanto, es derivable en $(a, b)$. Al cumplirse las hipótesis, podemos asegurar que existe $c \in (a, b)$ tal que: $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ 💡 **Tip:** Siempre hay que comprobar que el valor que anula el denominador (en este caso $x=0$) no pertenece al intervalo de estudio.

Calculamos ambos lados de la igualdad del teorema: 1. **Derivada en c:** $$f'(c) = -\frac{2}{c^3}$$ 2. **Tasa de variación media:** $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2}}{b - a} = \frac{\frac{a^2 - b^2}{a^2b^2}}{b - a} = \frac{(a - b)(a + b)}{a^2b^2(b - a)}$$ Como $(a - b) = -(b - a)$, simplificamos: $$\frac{-(b - a)(a + b)}{a^2b^2(b - a)} = -\frac{a + b}{a^2b^2}$$ Igualamos según el teorema: $$-\frac{2}{c^3} = -\frac{a + b}{a^2b^2} \implies \frac{2}{c^3} = \frac{a + b}{a^2b^2}$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al simplificar expresiones como $(a-b)/(b-a)$; siempre resulta en $-1$.

Sabemos que el punto $c$ se encuentra entre $a$ y $b$, es decir, $a \lt c \lt b$. Dado que el enunciado especifica que $1 \lt a$, tenemos la cadena de desigualdades: $$1 \lt a \lt c \lt b$$ De aquí se deduce que $c \gt 1$, lo que implica que $c^3 \gt 1$. Por lo tanto: $$\frac{1}{c^3} \lt 1$$ Multiplicando por 2 en ambos miembros: $$\frac{2}{c^3} \lt 2$$ Sustituimos la igualdad obtenida en el paso anterior ($\frac{2}{c^3} = \frac{a + b}{a^2b^2}$): $$\frac{a + b}{a^2b^2} \lt 2$$ Como $a, b \gt 1$, el término $a^2b^2$ es positivo, por lo que podemos pasar multiplicando sin cambiar el sentido de la desigualdad: $$a + b \lt 2a^2b^2$$ Queda así probada la desigualdad solicitada. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a + b \lt 2a^2b^2}$$