Geometría en el espacio: Posiciones relativas y planos

**(a) Obtenga un vector director de la recta $s$. (0,5 puntos)** La recta $s$ viene dada como intersección de dos planos. Sus ecuaciones implícitas son: $$s : \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ z = 0 \end{cases}$$ Para obtener el vector director $\vec{v_s}$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales a ambos planos: $\vec{n_1} = (1, 1, 0)$ y $\vec{n_2} = (0, 0, 1)$. $$\vec{v_s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v_s} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = 1\vec{i} - 1\vec{j} + 0\vec{k}$$ De modo que el vector director es: $$\vec{v_s} = (1, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de dichos planos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{v_s} = (1, -1, 0)}$$

Para los siguientes apartados, necesitamos conocer los elementos característicos de la recta $r$. La recta $r : \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ coincide con el eje $Z$. - Un punto de la recta es el origen: $P_r(0, 0, 0)$. - Su vector director es el vector unitario del eje $Z$: $\vec{v_r} = (0, 0, 1)$. Estos datos serán fundamentales para construir los planos $\Pi_1$ y $\Pi_2$.

**(b) Obtenga el plano $\Pi_1$ que contiene a $r$ y es paralelo a $s$. (1 punto)** Si el plano $\Pi_1$ contiene a la recta $r$, entonces: 1. Contiene al punto $P_r(0, 0, 0)$. 2. Tiene como vector director a $\vec{v_r} = (0, 0, 1)$. Si además es paralelo a $s$, su segundo vector director será el vector director de $s$: $\vec{v_s} = (1, -1, 0)$. Calculamos el vector normal al plano $\vec{n_{\Pi_1}}$ mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n_{\Pi_1}} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo el determinante: $$\vec{n_{\Pi_1}} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(0 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) = 1\vec{i} + 1\vec{j} + 0\vec{k} = (1, 1, 0)$$ La ecuación del plano será de la forma $1x + 1y + 0z + D = 0$. Sustituimos el punto $P_r(0,0,0)$: $$1(0) + 1(0) + D = 0 \implies D = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\Pi_1 : x + y = 0}$$

**(c) Obtenga el plano $\Pi_2$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $s$. (1 punto)** Si el plano $\Pi_2$ es perpendicular a la recta $s$, su vector normal $\vec{n_{\Pi_2}}$ debe ser el vector director de la recta $s$: $$\vec{n_{\Pi_2}} = \vec{v_s} = (1, -1, 0)$$ La ecuación general del plano será $1x - 1y + 0z + D = 0$. Para que el plano contenga a la recta $r$, debe contener a todos sus puntos, en particular al punto $P_r(0, 0, 0)$. Sustituimos: $$1(0) - 1(0) + D = 0 \implies D = 0$$ **Nota importante:** Debemos verificar que la recta $r$ sea efectivamente perpendicular a $s$ (es decir, que su vector director $\vec{v_r}$ sea perpendicular al normal del plano). Comprobamos el producto escalar: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_{\Pi_2}} = (0, 0, 1) \cdot (1, -1, 0) = 0 + 0 + 0 = 0$$ Como el producto escalar es cero, la recta $r$ está contenida en el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\Pi_2 : x - y = 0}$$