Determinantes, potencias y matriz inversa

**(a) Calcule el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ (0,5 puntos)** Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 0] - [2 \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \cdot 0]$$ $$|A| = [1 + 0 + 0] - [-2 + 0 + 0]$$ $$|A| = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$$ 💡 **Tip:** Al haber ceros en la matriz, también se podría haber desarrollado por la segunda fila o la segunda columna para simplificar el cálculo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A| = 3}$$

**(b) Obtenga el determinante de la matriz $B = \frac{1}{3} A^4$ sin calcular previamente $B$. (0,5 puntos)** Para resolver este apartado, aplicamos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. Si $M$ es una matriz de orden $n$, entonces $\det(k \cdot M) = k^n \cdot \det(M)$. 2. El determinante de una potencia es igual a la potencia del determinante: $\det(M^p) = (\det(M))^p$. En nuestro caso, la matriz $A$ es de orden $n=3$ y la constante es $k = \frac{1}{3}$: $$\det(B) = \det\left( \frac{1}{3} A^4 \right) = \left( \frac{1}{3} \right)^3 \cdot \det(A^4)$$ $$\det(B) = \frac{1}{27} \cdot (\det(A))^4$$ Sustituimos el valor hallado en el apartado anterior ($|A| = 3$): $$\det(B) = \frac{1}{27} \cdot 3^4 = \frac{1}{27} \cdot 81$$ $$\det(B) = \frac{81}{27} = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la constante $k$ sale del determinante elevada al orden de la matriz (número de filas/columnas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{|B| = 3}$$

**(c) Calcule la matriz inversa de $A$. (1,5 puntos)** Primero, comprobamos que $A$ es invertible. Como $|A| = 3 \neq 0$, la matriz **$A$ tiene inversa**. La fórmula de la matriz inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A)^T$$ Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0 \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 2$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 0 \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -3 \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Ahora trasponemos la matriz adjunta: $$\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A|=3$: $$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2/3 & 0 & -1/3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Puedes comprobar el resultado verificando que $A \cdot A^{-1} = I$, donde $I$ es la matriz identidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2/3 & 0 & -1/3 \end{pmatrix}}$$