Rectas y planos en el espacio: perpendicularidad e intersección

**a) La ecuación de la recta perpendicular a $\pi_1$ que pasa por el punto $P(2,2,1)$. (1 punto)** Si una recta $r$ es perpendicular a un plano $\pi_1$, el vector director de la recta ($\vec{v}_r$) debe ser paralelo al vector normal del plano ($\vec{n}_1$). Dada la ecuación del plano $\pi_1: x - y + 3 = 0$, extraemos sus coeficientes para obtener el vector normal: $$\vec{n}_1 = (1, -1, 0)$$ Por tanto, podemos tomar como vector director de nuestra recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 = (1, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

Conocemos un punto por el que pasa, $P(2, 2, 1)$, y su vector director $\vec{v}_r = (1, -1, 0)$. Podemos expresar la recta en su forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ O en su forma continua: $$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{-1} ; \quad z = 1$$ ✅ **Resultado (Ecuación de la recta):** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 1 \end{cases}}$$

**b) La ecuación del plano perpendicular a la recta que determinan $\pi_1$ y $\pi_2$ que contiene al punto $A(1,1,-1)$ (1,5 puntos)** Sea $s$ la recta determinada por la intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$. El enunciado nos pide un plano $\pi$ que sea perpendicular a $s$. Esto implica que el vector normal del plano que buscamos ($\vec{n}_\pi$) debe ser el mismo que el vector director de la recta $s$ ($\vec{v}_s$). La recta $s$ viene dada por la intersección de dos planos, por lo que su vector director se obtiene mediante el **producto vectorial** de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$$ Los vectores normales son: - De $\pi_1: x - y + 3 = 0 \implies \vec{n}_1 = (1, -1, 0)$ - De $\pi_2: 2x + y - z = 0 \implies \vec{n}_2 = (2, 1, -1)$

Calculamos el vector director de la recta $s$ mediante el determinante: $$\vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la regla de Sarrus: $$\vec{v}_s = [\vec{i} \cdot (-1) \cdot (-1) + \vec{j} \cdot 0 \cdot 2 + \vec{k} \cdot 1 \cdot 1] - [\vec{k} \cdot (-1) \cdot 2 + \vec{i} \cdot 0 \cdot 1 + \vec{j} \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$\vec{v}_s = [1\vec{i} + 0\vec{j} + 1\vec{k}] - [-2\vec{k} + 0\vec{i} - 1\vec{j}]$$ $$\vec{v}_s = \vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}$$ Por tanto, el vector normal de nuestro plano será: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, 3)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida como intersección de dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales, por eso usamos el producto vectorial.

La ecuación general de un plano con vector normal $\vec{n}_\pi = (1, 1, 3)$ es: $$1 \cdot x + 1 \cdot y + 3 \cdot z + D = 0 \implies x + y + 3z + D = 0$$ Como el plano contiene al punto $A(1, 1, -1)$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar $D$: $$1 + 1 + 3(-1) + D = 0$$ $$1 + 1 - 3 + D = 0 \implies -1 + D = 0 \implies D = 1$$ La ecuación del plano es $x + y + 3z + 1 = 0$. ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{x + y + 3z + 1 = 0}$$