Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Estudiarlo y clasificarlo para los distintos valores del parámetro $k$ (1,5 puntos)** En primer lugar, expresamos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & k \\ k & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & k & 1 \\ k & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & k \\ k & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix} = [2 \cdot 2 \cdot (-3) + k \cdot 1 \cdot k + 1 \cdot (-1) \cdot 0] - [0 \cdot 2 \cdot k + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + (-3) \cdot k \cdot 1]$$ $$|A| = [-12 + k^2 + 0] - [0 - 2 - 3k] = k^2 - 12 + 2 + 3k = k^2 + 3k - 10$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes determina los valores críticos donde el rango de la matriz puede cambiar.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $k$ que modifican el rango de $A$: $$k^2 + 3k - 10 = 0$$ $$k = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$$ Las soluciones son: $$k_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad k_2 = \frac{-10}{2} = -5$$ Estudiaremos los casos para $k \neq 2, -5$, $k = 2$ y $k = -5$ utilizando el **Teorema de Rouché-Capelli**.

Si $k \neq 2$ y $k \neq -5$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que el rango de $A$ no puede ser mayor que 3 y $A$ es una submatriz de $A^*$) - $n = 3$ (número de incógnitas) Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n = 3$, el sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única. $$\boxed{\text{Si } k \neq 2, -5 \implies \text{SCD}}$$

Para $k = 2$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \end{array}\right)$$ Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 2 = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ orlando dicho menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix} = [2 \cdot 2 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \cdot 0] - [0 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \cdot 2 + (-3) \cdot 2 \cdot 1]$$ $$= [-12 + 2 + 0] - [0 - 4 - 6] = -10 - (-10) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $\text{rango}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < n = 3$, el sistema es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. $$\boxed{\text{Si } k = 2 \implies \text{SCI}}$$

Para $k = -5$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -5 & 1 \\ -5 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \end{array}\right)$$ Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -5 & 2 \end{vmatrix} = 4 - (-5) = 9 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Calculamos el rango de $A^*$ orlando con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -5 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix} = [2 \cdot 2 \cdot (-3) + (-5) \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \cdot 0] - [0 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \cdot 2 + (-3) \cdot (-5) \cdot 1]$$ $$= [-12 - 5 + 0] - [0 - 4 + 15] = -17 - 11 = -28 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es un **Sistema Incompatible (SI)**. $$\boxed{\text{Si } k = -5 \implies \text{SI}}$$

**b) Resolverlo para $k = 2$ (1 punto)** Como vimos en el apartado anterior, para $k = 2$ el sistema es un **Sistema Compatible Indeterminado** con $\text{rango} = 2$. Esto significa que una de las ecuaciones es redundante. Usamos las ecuaciones 1 y 3 (que forman el menor de orden 2 no nulo) para resolverlo en función de un parámetro: $$\begin{cases} 2x + y + 2z = 1 \\ y - 3z = -3 \end{cases}$$ Sea $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$. De la segunda ecuación despejamos $y$: $$y = 3z - 3 \implies y = -3 + 3\lambda$$ Sustituimos $y$ y $z$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$2x + (-3 + 3\lambda) + 2\lambda = 1$$ $$2x - 3 + 5\lambda = 1$$ $$2x = 4 - 5\lambda \implies x = 2 - \frac{5}{2}\lambda$$ 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros libres es igual a $n - \text{rango}$. Aquí $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = 2 - \frac{5}{2}\lambda \\ y = -3 + 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$