Área de una región limitada por cuatro rectas

**2. Dibujar y calcular el área de la región del plano limitada por las siguientes rectas: $y = 3x ; y = x ; y = -x + 8 ; x = 3$ (2,5 puntos)** Primero, identificamos las cuatro funciones que delimitan el recinto: - $f(x) = 3x$ - $g(x) = x$ - $h(x) = -x + 8$ - $x = 3$ (recta vertical) Para poder dibujar la región y establecer los límites de integración, calculamos los puntos de corte entre las rectas: 1. **Corte entre $f(x)$ y $g(x)$:** $3x = x \implies 2x = 0 \implies x = 0$. Punto: $(0, 0)$. 2. **Corte entre $f(x)$ y $h(x)$:** $3x = -x + 8 \implies 4x = 8 \implies x = 2$. Punto: $(2, 6)$. 3. **Corte entre $g(x)$ y $h(x)$:** $x = -x + 8 \implies 2x = 8 \implies x = 4$. Punto: $(4, 4)$. 4. **Corte con la recta vertical $x = 3$:** - Con $g(x)$: $y = 3$. Punto: $(3, 3)$. - Con $h(x)$: $y = -3 + 8 = 5$. Punto: $(3, 5)$. 💡 **Tip:** Calcular los puntos de corte es fundamental para saber en qué valores de $x$ debemos dividir la integral si las funciones que están por encima o por debajo cambian.

A partir de los puntos calculados, representamos las rectas. Observamos que el recinto queda limitado a la izquierda por el origen $(0,0)$ y a la derecha por la recta vertical $x=3$. La región se divide en dos partes debido al cambio en la función superior en $x=2$: - De $x=0$ a $x=2$: La función superior es $f(x)=3x$ y la inferior es $g(x)=x$. - De $x=2$ a $x=3$: La función superior es $h(x)=-x+8$ y la inferior es $g(x)=x$.

El área total $A$ es la suma de las áreas de las dos subregiones: $$A = A_1 + A_2 = \int_{0}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx + \int_{2}^{3} [h(x) - g(x)] \, dx$$ Sustituyendo las funciones: $$A = \int_{0}^{2} (3x - x) \, dx + \int_{2}^{3} (-x + 8 - x) \, dx$$ $$A = \int_{0}^{2} 2x \, dx + \int_{2}^{3} (8 - 2x) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $f$ (arriba) y $g$ (abajo) en un intervalo $[a,b]$ siempre se calcula como $\int_a^b (f(x) - g(x)) dx$.

Calculamos $A_1$ aplicando la Regla de Barrow: $$A_1 = \int_{0}^{2} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$A_1 = (2)^2 - (0)^2 = 4 - 0 = 4 \text{ u}^2$$ $$\boxed{A_1 = 4 \text{ unidades cuadradas}}$$

Calculamos $A_2$ aplicando la Regla de Barrow: $$A_2 = \int_{2}^{3} (8 - 2x) \, dx = \left[ 8x - x^2 \right]_{2}^{3}$$ Evaluamos en los límites: $$A_2 = (8(3) - (3)^2) - (8(2) - (2)^2)$$ $$A_2 = (24 - 9) - (16 - 4) = 15 - 12 = 3 \text{ u}^2$$ Sumamos ambas áreas para obtener el área total: $$A = A_1 + A_2 = 4 + 3 = 7 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 7 \text{ u}^2}$$