Estudio de la monotonía y extremos de una función exponencial

**a) Determinar los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento (1,5 puntos)** Para estudiar la monotonía de la función, primero debemos calcular su derivada $f'(x)$. La función es un cociente de la forma $\frac{u}{v}$, por lo que aplicamos la regla de derivación: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Identificamos las partes: - $u = x^2 \implies u' = 2x$ - $v = e^{x^2} \implies v' = 2x \cdot e^{x^2}$ (usando la regla de la cadena) Calculamos $f'(x)$: $$f'(x) = \frac{2x \cdot e^{x^2} - x^2 \cdot (2x e^{x^2})}{(e^{x^2})^2}$$ Factorizamos $2x e^{x^2}$ en el numerador para simplificar: $$f'(x) = \frac{2x e^{x^2} (1 - x^2)}{e^{2x^2}} = \frac{2x (1 - x^2)}{e^{x^2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\frac{e^{x^2}}{e^{2x^2}} = e^{x^2 - 2x^2} = e^{-x^2} = \frac{1}{e^{x^2}}$. Simplificar la expresión antes de igualar a cero facilita mucho los cálculos posteriores. $$\boxed{f'(x) = \frac{2x (1 - x^2)}{e^{x^2}}}$$

Los puntos críticos son aquellos donde la derivada es igual a cero o no existe. Como el denominador $e^{x^2}$ es siempre positivo y nunca se anula, solo resolvemos $f'(x) = 0$: $$\frac{2x (1 - x^2)}{e^{x^2}} = 0 \implies 2x (1 - x^2) = 0$$ Esto nos da tres soluciones posibles: 1. $2x = 0 \implies x = 0$ 2. $1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ y $x = -1$ Los puntos críticos son **$x = -1$**, **$x = 0$** y **$x = 1$**.

Dividimos la recta real en intervalos según los puntos críticos hallados y evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno. Notamos que el denominador $e^{x^2}$ siempre es positivo, por lo que el signo depende únicamente del numerador $2x(1-x^2)$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline 2x & - & - & - & 0 & + & + & + \\ 1-x^2 & - & 0 & + & + & + & 0 & - \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ monotonía & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ Concluimos los intervalos: - **Creciente ($\nearrow$):** $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$ - **Decreciente ($\searrow$):** $x \in (-1, 0) \cup (1, +\infty)$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, -1) \cup (0, 1) \text{ y Decreciente en } (-1, 0) \cup (1, +\infty)}$$

**b) Calcular los máximos y mínimos relativos (1 punto)** Utilizando los cambios de signo de $f'(x)$ observados en el paso anterior: - En $x = -1$, la función pasa de crecer a decrecer $\implies$ **Máximo relativo**. - En $x = 0$, la función pasa de decrecer a crecer $\implies$ **Mínimo relativo**. - En $x = 1$, la función pasa de crecer a decrecer $\implies$ **Máximo relativo**. Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en $f(x) = \frac{x^2}{e^{x^2}}$: 1. Para $x = -1$: $f(-1) = \frac{(-1)^2}{e^{(-1)^2}} = \frac{1}{e}$ 2. Para $x = 0$: $f(0) = \frac{0^2}{e^{0^2}} = 0$ 3. Para $x = 1$: $f(1) = \frac{1^2}{e^{1^2}} = \frac{1}{e}$ 💡 **Tip:** Dado que la función es par ($f(x) = f(-x)$), es lógico que los extremos en $x=1$ y $x=-1$ tengan la misma altura. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximos relativos en } (-1, 1/e) \text{ y } (1, 1/e); \text{ Mínimo relativo en } (0, 0)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{x^2}{e^{x^2}}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max1", "latex": "(-1, 1/e)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Máx" }, { "id": "max2", "latex": "(1, 1/e)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Máx" }, { "id": "min", "latex": "(0, 0)", "color": "#16a34a", "showLabel": true, "label": "Mín" } ], "bounds": { "left": -3, "right": 3, "bottom": -0.5, "top": 1 } } }