Paralelismo y ángulo entre recta y plano

**a) Calcular el valor del parámetro $a$ para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$ (1,25 puntos)** Para resolver problemas de posición relativa entre rectas y planos, lo primero es extraer sus vectores característicos. El vector normal del plano $\pi : 5x + ay + 4z - 5 = 0$ es: $$\vec{n}_{\pi} = (5, a, 4)$$ La recta $r$ viene dada en forma continua: $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$. De los denominadores obtenemos su vector director: $$\vec{v}_r = (2, 6, -4)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta, el vector director está en los denominadores siempre que las variables $x, y, z$ tengan coeficiente 1.

Para que una recta $r$ sea paralela a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_{\pi}$. Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi} = 0$$ Sustituimos los componentes: $$(2, 6, -4) \cdot (5, a, 4) = 0$$ $$2 \cdot 5 + 6 \cdot a + (-4) \cdot 4 = 0$$ $$10 + 6a - 16 = 0$$ Resolvemos la ecuación para $a$: $$6a - 6 = 0 \implies 6a = 6 \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar es 0, la recta puede estar contenida en el plano o ser paralela. Para ser estrictamente paralela, un punto de la recta no debe cumplir la ecuación del plano. Comprobamos con $P_r(0, 2, 2)$: $5(0) + 1(2) + 4(2) - 5 = 5 \neq 0$. Como no se cumple, la recta es paralela. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**b) Para $a = 0$, calcular el ángulo que forman el plano $\pi$ y la recta $r$ (1,25 puntos)** Si $a = 0$, los vectores son: - Vector normal del plano: $\vec{n}_{\pi} = (5, 0, 4)$ - Vector director de la recta: $\vec{v}_r = (2, 6, -4)$ El ángulo $\alpha$ formado por una recta y un plano se calcula mediante la función seno (ya que es el complementario del ángulo que forman los dos vectores): $$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi}|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_{\pi}|}$$ 💡 **Tip:** ¡Cuidado! Entre dos planos o dos rectas usamos el coseno, pero entre **recta y plano** usamos el **seno**.

Calculamos cada elemento de la fórmula por separado: 1. **Producto escalar (en valor absoluto):** $$|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi}| = |2 \cdot 5 + 6 \cdot 0 + (-4) \cdot 4| = |10 + 0 - 16| = |-6| = 6$$ 2. **Módulo del vector director $\vec{v}_r$:** $$|\vec{v}_r| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 36 + 16} = \sqrt{56}$$ 3. **Módulo del vector normal $\vec{n}_{\pi}$:** $$|\vec{n}_{\pi}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$$ Sustituimos en la expresión del seno: $$\sin(\alpha) = \frac{6}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{41}} = \frac{6}{\sqrt{2296}}$$

Para hallar el ángulo $\alpha$, aplicamos la función arcoseno: $$\alpha = \arcsin\left(\frac{6}{\sqrt{2296}}\right)$$ Calculamos el valor numérico aproximado: $$\frac{6}{\sqrt{2296}} \approx \frac{6}{47,916} \approx 0,1252$$ $$\alpha \approx \arcsin(0,1252) \approx 7,19^\circ$$ También podemos expresar el resultado en radianes: $$\alpha \approx 0,1255 \text{ rad}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \arcsin\left(\frac{6}{\sqrt{2296}}\right) \approx 7,19^\circ}$$